Номер 25, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 25, страница 125.

Условие.

13.25. Диагонали ромба $ABCD$ с тупым углом при вершине $B$ равны 30 см и 40 см. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости ромба, $MB = 24$ см. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью $CMD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между плоскостью ромба $(ABCD)$ и плоскостью $(CMD)$ является двугранным углом, который измеряется его линейным углом. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $CD$.

Для построения линейного угла опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую $CD$. Таким образом, $BH$ является высотой ромба, проведенной к стороне $CD$. По построению $BH \perp CD$.

Согласно условию, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости ромба $(ABCD)$. Следовательно, $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $BH$. Таким образом, $\angle MBH = 90^\circ$, и треугольник $MBH$ является прямоугольным.

Рассмотрим наклонную $MH$ к плоскости ромба и ее проекцию $BH$. Поскольку проекция $BH$ перпендикулярна прямой $CD$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MH$ перпендикулярна этой прямой: $MH \perp CD$.

Так как $BH \perp CD$ и $MH \perp CD$, то $\angle MHB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABCD)$ и $(CMD)$. Для нахождения этого угла нужно определить длины катетов в прямоугольном треугольнике $MBH$.

Длина катета $MB$ дана в условии: $MB = 24$ см. Найдем длину катета $BH$.

В ромбе $ABCD$ угол при вершине $B$ тупой, значит, диагональ $BD$, соединяющая тупые углы, является меньшей, а диагональ $AC$ — большей. Следовательно, $BD = 30$ см и $AC = 40$ см.

Площадь ромба можно найти через его диагонали:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$ см².

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей (например, $\triangle BOC$, где $O$ — точка пересечения диагоналей). Катеты этого треугольника равны $BO = \frac{BD}{2} = 15$ см и $OC = \frac{AC}{2} = 20$ см.
Сторона ромба $BC$ (гипотенуза) равна:
$a = BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.
Все стороны ромба равны, поэтому $CD = 25$ см.

Площадь ромба также вычисляется как произведение стороны на высоту: $S_{ABCD} = CD \cdot BH$.
$600 = 25 \cdot BH$.
Отсюда находим высоту $BH$:
$BH = \frac{600}{25} = 24$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $MBH$. Мы знаем длины обоих катетов: $MB = 24$ см и $BH = 24$ см.
Найдем тангенс угла $\angle MHB$:
$\tan(\angle MHB) = \frac{MB}{BH} = \frac{24}{24} = 1$.
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Таким образом, $\angle MHB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.