Страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.16. Отрезок $BK$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$ (рис. 13.19), $\angle ABC = 100^\circ$. Найдите угол между плоскостями $ABK$ и $CBK$.

Рис. 13.19

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется как мера меньшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Для нахождения этого угла строят линейный угол соответствующего двугранного угла.

Плоскости $(ABK)$ и $(CBK)$ пересекаются по прямой $BK$.

По условию задачи отрезок $BK$ является перпендикуляром к плоскости ромба $ABCD$. Из определения перпендикуляра к плоскости следует, что прямая $BK$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$.

Прямые $AB$ и $BC$ лежат в плоскости $ABCD$ и проходят через точку $B$. Следовательно, $BK \perp AB$ и $BK \perp BC$.

По определению, линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными в его гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $AB$ и $BC$ являются такими перпендикулярами к ребру $BK$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABK)$, а прямая $BC$ — в плоскости $(CBK)$.

Следовательно, угол $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABK)$ и $(CBK)$.

По условию, $\angle ABC = 100^\circ$.

Поскольку угол между плоскостями не может превышать $90^\circ$, а полученный линейный угол равен $100^\circ$ (то есть он тупой), то за угол между плоскостями принимается величина угла, смежного с линейным углом.

Таким образом, искомый угол равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Ответ: $80^\circ$.

13.17. Все рёбра тетраэдра $DABC$ равны, точка $M$ – середина ребра $CD$.

Докажите, что угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$ равен углу $AMB$.

По определению, угол между двумя плоскостями — это величина линейного угла соответствующего двугранного угла. Линейный угол строится следующим образом: на линии пересечения плоскостей выбирается точка, и из этой точки в каждой из плоскостей восстанавливается перпендикуляр к линии пересечения. Угол между этими перпендикулярами и является линейным углом двугранного угла.

В нашем случае плоскости $ACD$ и $BCD$ пересекаются по прямой $CD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию, все рёбра тетраэдра $DABC$ равны. Это означает, что тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники. Таким образом, $\triangle ACD$ — равносторонний.

Точка $M$ является серединой ребра $CD$. Следовательно, отрезок $AM$ — это медиана в треугольнике $\triangle ACD$. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к стороне, является также и высотой. Значит, $AM$ перпендикулярна $CD$ ($AM \perp CD$).

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Он также является равносторонним. Отрезок $BM$ является медианой, проведённой к стороне $CD$, а значит, и высотой. Следовательно, $BM$ перпендикулярна $CD$ ($BM \perp CD$).

Таким образом, мы имеем два отрезка, $AM$ и $BM$, которые проведены к одной точке $M$ на линии пересечения плоскостей $CD$. При этом отрезок $AM$ лежит в плоскости $ACD$ и перпендикулярен $CD$, а отрезок $BM$ лежит в плоскости $BCD$ и также перпендикулярен $CD$.

По определению, угол между этими отрезками, то есть угол $\angle AMB$, является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ACD$ и $BCD$. Следовательно, угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$ равен углу $\angle AMB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$ равен углу $\angle AMB$.

13.18. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, $AD = \sqrt{3}$ см, $AA_1 = 3$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C$.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AD = \sqrt{3}$ см. Высота параллелепипеда $AA_1 = 3$ см. Требуется найти угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1B_1C)$.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(A_1B_1C)$.
Плоскость $(ABC)$ является плоскостью нижнего основания.Точка $C$ принадлежит плоскости $(A_1B_1C)$ по определению и также принадлежит плоскости $(ABC)$. Следовательно, точка $C$ лежит на линии пересечения этих плоскостей.Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(ABC)$. Отсюда следует, что прямая $A_1B_1$, лежащая в верхней плоскости, параллельна прямой $AB$, лежащей в нижней плоскости, а значит, прямая $A_1B_1$ параллельна всей плоскости $(ABC)$.Если плоскость $(A_1B_1C)$ проходит через прямую $A_1B_1$, параллельную плоскости $(ABC)$, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения будет параллельна прямой $A_1B_1$.Таким образом, линия пересечения проходит через точку $C$ и параллельна $A_1B_1$. В плоскости $(ABC)$ через точку $C$ проходит прямая $CD$, которая параллельна $AB$, а значит, и $A_1B_1$.Следовательно, линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(A_1B_1C)$ — это прямая $CD$.

2. Построим линейный угол двугранного угла.
Угол между двумя плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке, причем каждый перпендикуляр лежит в своей плоскости.Наша линия пересечения — $CD$.Поскольку $ABCD$ — квадрат, то $BC \perp CD$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$.Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, $CC_1 \perp CD$.Так как прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ в плоскости $(BCC_1)$, то прямая $CD$ перпендикулярна всей плоскости $(BCC_1)$.Это означает, что любая прямая в плоскости $(BCC_1)$, проходящая через точку $C$, будет перпендикулярна прямой $CD$.Прямая $B_1C$ лежит в плоскости $(A_1B_1C)$ (так как точки $B_1$ и $C$ лежат в этой плоскости). Также прямая $B_1C$ лежит в плоскости боковой грани $(BCC_1)$. Следовательно, $B_1C \perp CD$.Итак, мы имеем два перпендикуляра к линии пересечения $CD$ в точке $C$:- $BC$ в плоскости $(ABC)$.- $B_1C$ в плоскости $(A_1B_1C)$.Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу между этими прямыми, то есть $\angle B_1CB$.

3. Вычислим величину угла $\angle B_1CB$.
Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BC$. Так как $BB_1$ — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда, оно перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и, в частности, $BB_1 \perp BC$.Таким образом, $\triangle B_1BC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $B$.Катеты этого треугольника равны:- $BC = AD = \sqrt{3}$ см (как сторона квадрата в основании).- $BB_1 = AA_1 = 3$ см (как высота параллелепипеда).Найдем тангенс угла $\angle B_1CB$:$\text{tg}(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$.Следовательно, $\angle B_1CB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

13.19. В гранях двугранного угла, равного 45°, проведены прямые, параллельные его ребру и удалённые от ребра на $2\sqrt{2}$ см и 3 см соответственно. Найдите расстояние между данными параллельными прямыми.

Пусть ребро двугранного угла — прямая $l$. В гранях угла, которые являются полуплоскостями, проведены прямые $a$ и $b$, причём $a \parallel l$ и $b \parallel l$. Из этого следует, что $a \parallel b$.

Расстояние от прямой $a$ до ребра $l$ равно $d_1 = 2\sqrt{2}$ см.Расстояние от прямой $b$ до ребра $l$ равно $d_2 = 3$ см.

Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$, рассмотрим плоскость, перпендикулярную ребру $l$ (и, следовательно, прямым $a$ и $b$).

В этой плоскости сечения ребро $l$ отобразится в точку $O$. Грани двугранного угла будут выглядеть как два луча, выходящие из точки $O$, угол между которыми равен линейному углу двугранного угла, то есть $45°$. Прямые $a$ и $b$ пересекут эту плоскость в точках $A$ и $B$ соответственно.

Расстояния от прямых до ребра будут равны длинам отрезков $OA$ и $OB$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины стороны $AB$ в треугольнике $OAB$, для которого известны две стороны и угол между ними:

• $OA = d_1 = 2\sqrt{2}$ см
• $OB = d_2 = 3$ см
• $\angle AOB = 45°$

Искомое расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно длине отрезка $AB$. Для его нахождения воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(45°)$

Выполним вычисления, зная, что $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$AB^2 = (4 \cdot 2) + 9 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 17 - 12 \cdot \frac{2}{2}$

$AB^2 = 17 - 12$

$AB^2 = 5$

$AB = \sqrt{5}$ см.

Ответ: $\sqrt{5}$ см.

13.20. Плоскость $ \alpha $ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым $ m $ и $ n $. Расстояние от ребра двугранного угла до прямой $ m $ равно 3 см, до прямой $ n $ – 5 см, а расстояние между прямыми $ m $ и $ n $ – 7 см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\gamma_1$ и $\gamma_2$ с общим ребром $c$. Плоскость $\alpha$ пересекает грань $\gamma_1$ по прямой $m$ и грань $\gamma_2$ по прямой $n$. По условию задачи, прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$).

Так как две параллельные прямые $m$ и $n$ лежат в плоскости $\alpha$, а также в гранях $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно, то линия пересечения этих граней (ребро $c$) должна быть параллельна плоскости $\alpha$. Отсюда следует, что ребро $c$ параллельно прямым $m$ и $n$, лежащим в плоскости $\alpha$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого выберем на ребре $c$ произвольную точку $O$ и проведём через неё плоскость $\beta$, перпендикулярную ребру $c$.

Поскольку $c \parallel m$ и $c \parallel n$, то плоскость $\beta$, будучи перпендикулярной $c$, будет перпендикулярна и прямым $m$ и $n$. Пусть плоскость $\beta$ пересекает прямую $m$ в точке $M$ и прямую $n$ в точке $N$.

Угол $\angle MON$ по построению является линейным углом данного двугранного угла. Найдём его величину.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMN$, который лежит в плоскости $\beta$.

• Длина отрезка $OM$ — это расстояние между параллельными прямыми $c$ и $m$, измеренное в перпендикулярной к ним плоскости. По условию, это расстояние равно 3 см. Таким образом, $OM = 3$ см.
• Длина отрезка $ON$ — это расстояние между параллельными прямыми $c$ и $n$. По условию, это расстояние равно 5 см. Таким образом, $ON = 5$ см.
• Длина отрезка $MN$ — это расстояние между параллельными прямыми $m$ и $n$. По условию, это расстояние равно 7 см. Таким образом, $MN = 7$ см.

Мы получили треугольник $\triangle OMN$ со сторонами $OM = 3$ см, $ON = 5$ см и $MN = 7$ см. Нам нужно найти угол $\angle MON$. Обозначим его как $\phi$.

Применим к треугольнику $\triangle OMN$ теорему косинусов:

$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения в формулу:

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\phi)$

$49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\phi)$

$49 = 34 - 30 \cdot \cos(\phi)$

$49 - 34 = -30 \cdot \cos(\phi)$

$15 = -30 \cdot \cos(\phi)$

$\cos(\phi) = \frac{15}{-30} = -\frac{1}{2}$

Учитывая, что величина двугранного угла находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, находим угол $\phi$:

$\phi = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

13.21. Ребро $DA$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 13.20), $AB = BC = AC = 8$ см, $BD = 4\sqrt{7}$ см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $BCD$.

Рис. 13.20

Двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $BCD$, — это двугранный угол при ребре $BC$. Величиной двугранного угла является величина его линейного угла.

Для построения линейного угла проведем в плоскости $ABC$ перпендикуляр к ребру $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний со стороной $AB = BC = AC = 8$ см, его высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, является также и медианой. Обозначим ее $AM$, где $M$ — середина $BC$. По свойству высоты в треугольнике, $AM \perp BC$.

По условию задачи ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Прямая $AM$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, $DA \perp AM$. Также $AM$ является проекцией наклонной $DM$ на плоскость $ABC$. Так как проекция $AM$ перпендикулярна прямой $BC$ (которая лежит в плоскости $ABC$), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $DM$ также перпендикулярна прямой $BC$.

Поскольку $AM \perp BC$ и $DM \perp BC$, угол $\angle DMA$ является линейным углом искомого двугранного угла. Найдем его величину, рассмотрев треугольник $DAM$. Как мы установили, $\angle DAM = 90^\circ$, поэтому треугольник $DAM$ — прямоугольный.

Найдем длины катетов этого треугольника.

Катет $DA$ найдем из прямоугольного треугольника $DAB$ (угол $\angle DAB = 90^\circ$, так как $DA \perp (ABC)$). По теореме Пифагора: $DA^2 = BD^2 - AB^2$ Подставим известные значения $BD = 4\sqrt{7}$ см и $AB = 8$ см: $DA^2 = (4\sqrt{7})^2 - 8^2 = 16 \cdot 7 - 64 = 112 - 64 = 48$ $DA = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Катет $AM$ является высотой в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = 8$ см. Его длина вычисляется по формуле: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $DAM$ катеты оказались равны: $DA = AM = 4\sqrt{3}$ см. Это означает, что треугольник $DAM$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его острые углы равны по $45^\circ$. Следовательно, $\angle DMA = 45^\circ$.

Также величину угла можно найти через тангенс: $\text{tg}(\angle DMA) = \frac{DA}{AM} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 1$ $\angle DMA = \text{arctg}(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^{\circ}$.

13.22. Ребро $DB$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 13.21), $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC = 7$ см, $AD = 7\sqrt{5}$ см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $ACD$.

Рис. 13.20

Рис. 13.21

Поскольку ребро $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DB \perp BC$ и $DB \perp AB$. Следовательно, треугольники $DBC$ и $DAB$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $B$.

Двугранный угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ измеряется своим линейным углом. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AC$. Для построения линейного угла необходимо в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к прямой $AC$ через одну и ту же точку на этой прямой.

В плоскости основания $ABC$ имеем треугольник $ABC$. По условию, $\angle ACB = 90^\circ$, что означает, что сторона $BC$ перпендикулярна стороне $AC$ ($BC \perp AC$).

Теперь рассмотрим плоскость $ACD$. Прямая $DC$ является наклонной к плоскости $ABC$, а $BC$ — ее проекцией на эту плоскость. Так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ ($BC \perp AC$), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $AC$ ($DC \perp AC$).

Мы получили, что к прямой $AC$ в точке $C$ проведены два перпендикуляра: $BC$ в плоскости $ABC$ и $DC$ в плоскости $ACD$. Следовательно, угол между этими перпендикулярами, $\angle DCB$, и является линейным углом искомого двугранного угла.

Для нахождения величины угла $\angle DCB$ рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$ (поскольку $DB \perp BC$, то $\angle DBC = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна длина катета $BC = 7$ см. Найдем длину второго катета $DB$.

Для этого сначала в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98$
$AB = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DAB$ ($\angle DBA = 90^\circ$). По теореме Пифагора выразим катет $DB$:
$DB^2 = AD^2 - AB^2$
$DB^2 = (7\sqrt{5})^2 - (7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 5 - 49 \cdot 2 = 245 - 98 = 147$
$DB = \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$ см.

Наконец, в прямоугольном треугольнике $DBC$ найдем тангенс угла $\angle DCB$:
$\text{tg}(\angle DCB) = \frac{DB}{BC} = \frac{7\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle DCB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

13.23. Точка $D$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$, если $AC = BC = 2$ см, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на $\sqrt{3}$ см.

Пусть $O$ - проекция точки $D$ на плоскость $ABC$. Тогда длина отрезка $DO$ равна расстоянию от точки $D$ до плоскости $ABC$, и по условию, $DO = \sqrt{3}$ см. Из определения проекции следует, что $DO \perp (ABC)$.

Поскольку точка $D$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ (т.е. $DA = DB = DC$), ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с $\angle ACB = 90^\circ$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, точка $O$ - это середина гипотенузы $AB$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ - это двугранный угол, ребром которого является их линия пересечения $AC$. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

Проведем из точки $O$ в плоскости $ABC$ перпендикуляр $OK$ к прямой $AC$. Так как $DO \perp (ABC)$, то $DO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OK$. Таким образом, $\triangle DKO$ - прямоугольный. Отрезок $OK$ является проекцией наклонной $DK$ на плоскость $ABC$. Поскольку проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AC$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DK$ перпендикулярна $AC$.

Так как $OK \perp AC$ и $DK \perp AC$, то угол $\angle DKO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ACD$. Найдем величину этого угла.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AC = BC = 2$ см, $\angle C = 90^\circ$. Точка $O$ - середина гипотенузы $AB$. Так как $OK \perp AC$ и $BC \perp AC$, то прямые $OK$ и $BC$ параллельны. Поскольку $OK$ проходит через середину стороны $AB$ и параллельна стороне $BC$, $OK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна: $OK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DKO$. Мы знаем длины его катетов: $DO = \sqrt{3}$ см (по условию) и $OK = 1$ см. Найдем тангенс угла $\angle DKO$: $\text{tg}(\angle DKO) = \frac{DO}{OK} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle DKO = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

13.24. Точка $D$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$, если $AB = 12 \text{ см}$, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на 2 см.

Пусть $O$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Так как точка $D$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$ ($DA = DB = DC$), то ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ является центром описанной около треугольника $ABC$ окружности ($OA = OB = OC$). Поскольку треугольник $ABC$ — равносторонний, точка $O$ также является его центром (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис). Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DO$, то есть $DO = 2$ см.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ — это двугранный угол между ними. Его величину можно измерить линейным углом, который образуется пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру. Ребром в данном случае является прямая $AB$.

Проведем высоту и медиану $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$. Тогда $CM \perp AB$. Так как $DA = DB$, треугольник $ABD$ является равнобедренным. Его медиана $DM$, проведенная к основанию $AB$, также является высотой, то есть $DM \perp AB$.

Поскольку $CM \perp AB$ и $DM \perp AB$, угол $\angle DMC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABD$. Найдем величину этого угла.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равносторонний со стороной $a = AB = 12$ см. Его высота (и медиана) $CM$ вычисляется по формуле: $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Точка $O$ является центром треугольника $ABC$ и делит медиану $CM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$. Следовательно, $OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $DOM$. Так как $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а отрезок $OM$ лежит в этой плоскости, то $DO \perp OM$. Значит, треугольник $DOM$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $DOM$ нам известны катеты: $DO = 2$ см и $OM = 2\sqrt{3}$ см. Угол $\angle DMO$ (который и является искомым углом $\angle DMC$, так как точки $C, O, M$ лежат на одной прямой) можно найти через тангенс: $tan(\angle DMO) = \frac{DO}{OM} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle DMO = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

13.25. Диагонали ромба $ABCD$ с тупым углом при вершине $B$ равны 30 см и 40 см. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости ромба, $MB = 24$ см. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью $CMD$.

Угол между плоскостью ромба $(ABCD)$ и плоскостью $(CMD)$ является двугранным углом, который измеряется его линейным углом. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $CD$.

Для построения линейного угла опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую $CD$. Таким образом, $BH$ является высотой ромба, проведенной к стороне $CD$. По построению $BH \perp CD$.

Согласно условию, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости ромба $(ABCD)$. Следовательно, $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $BH$. Таким образом, $\angle MBH = 90^\circ$, и треугольник $MBH$ является прямоугольным.

Рассмотрим наклонную $MH$ к плоскости ромба и ее проекцию $BH$. Поскольку проекция $BH$ перпендикулярна прямой $CD$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MH$ перпендикулярна этой прямой: $MH \perp CD$.

Так как $BH \perp CD$ и $MH \perp CD$, то $\angle MHB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABCD)$ и $(CMD)$. Для нахождения этого угла нужно определить длины катетов в прямоугольном треугольнике $MBH$.

Длина катета $MB$ дана в условии: $MB = 24$ см. Найдем длину катета $BH$.

В ромбе $ABCD$ угол при вершине $B$ тупой, значит, диагональ $BD$, соединяющая тупые углы, является меньшей, а диагональ $AC$ — большей. Следовательно, $BD = 30$ см и $AC = 40$ см.

Площадь ромба можно найти через его диагонали:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$ см².

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей (например, $\triangle BOC$, где $O$ — точка пересечения диагоналей). Катеты этого треугольника равны $BO = \frac{BD}{2} = 15$ см и $OC = \frac{AC}{2} = 20$ см.
Сторона ромба $BC$ (гипотенуза) равна:
$a = BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.
Все стороны ромба равны, поэтому $CD = 25$ см.

Площадь ромба также вычисляется как произведение стороны на высоту: $S_{ABCD} = CD \cdot BH$.
$600 = 25 \cdot BH$.
Отсюда находим высоту $BH$:
$BH = \frac{600}{25} = 24$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $MBH$. Мы знаем длины обоих катетов: $MB = 24$ см и $BH = 24$ см.
Найдем тангенс угла $\angle MHB$:
$\tan(\angle MHB) = \frac{MB}{BH} = \frac{24}{24} = 1$.
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Таким образом, $\angle MHB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.