Номер 22, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 22, страница 125.

Условие.

13.22. Ребро $DB$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 13.21), $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC = 7$ см, $AD = 7\sqrt{5}$ см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $ACD$.

Рис. 13.20

Рис. 13.21

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку ребро $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DB \perp BC$ и $DB \perp AB$. Следовательно, треугольники $DBC$ и $DAB$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $B$.

Двугранный угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ измеряется своим линейным углом. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AC$. Для построения линейного угла необходимо в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к прямой $AC$ через одну и ту же точку на этой прямой.

В плоскости основания $ABC$ имеем треугольник $ABC$. По условию, $\angle ACB = 90^\circ$, что означает, что сторона $BC$ перпендикулярна стороне $AC$ ($BC \perp AC$).

Теперь рассмотрим плоскость $ACD$. Прямая $DC$ является наклонной к плоскости $ABC$, а $BC$ — ее проекцией на эту плоскость. Так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ ($BC \perp AC$), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $AC$ ($DC \perp AC$).

Мы получили, что к прямой $AC$ в точке $C$ проведены два перпендикуляра: $BC$ в плоскости $ABC$ и $DC$ в плоскости $ACD$. Следовательно, угол между этими перпендикулярами, $\angle DCB$, и является линейным углом искомого двугранного угла.

Для нахождения величины угла $\angle DCB$ рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$ (поскольку $DB \perp BC$, то $\angle DBC = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна длина катета $BC = 7$ см. Найдем длину второго катета $DB$.

Для этого сначала в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98$
$AB = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DAB$ ($\angle DBA = 90^\circ$). По теореме Пифагора выразим катет $DB$:
$DB^2 = AD^2 - AB^2$
$DB^2 = (7\sqrt{5})^2 - (7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 5 - 49 \cdot 2 = 245 - 98 = 147$
$DB = \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$ см.

Наконец, в прямоугольном треугольнике $DBC$ найдем тангенс угла $\angle DCB$:
$\text{tg}(\angle DCB) = \frac{DB}{BC} = \frac{7\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle DCB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.