Номер 16, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 16, страница 125.

Условие.

13.16. Отрезок $BK$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$ (рис. 13.19), $\angle ABC = 100^\circ$. Найдите угол между плоскостями $ABK$ и $CBK$.

Рис. 13.19

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется как мера меньшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Для нахождения этого угла строят линейный угол соответствующего двугранного угла.

Плоскости $(ABK)$ и $(CBK)$ пересекаются по прямой $BK$.

По условию задачи отрезок $BK$ является перпендикуляром к плоскости ромба $ABCD$. Из определения перпендикуляра к плоскости следует, что прямая $BK$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$.

Прямые $AB$ и $BC$ лежат в плоскости $ABCD$ и проходят через точку $B$. Следовательно, $BK \perp AB$ и $BK \perp BC$.

По определению, линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными в его гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $AB$ и $BC$ являются такими перпендикулярами к ребру $BK$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABK)$, а прямая $BC$ — в плоскости $(CBK)$.

Следовательно, угол $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABK)$ и $(CBK)$.

По условию, $\angle ABC = 100^\circ$.

Поскольку угол между плоскостями не может превышать $90^\circ$, а полученный линейный угол равен $100^\circ$ (то есть он тупой), то за угол между плоскостями принимается величина угла, смежного с линейным углом.

Таким образом, искомый угол равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Ответ: $80^\circ$.