Номер 9, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 9, страница 123.

Условие.

13.9. Отрезок AD – перпендикуляр к плоскости правильного треугольника ABC (рис. 13.14), точка E – середина стороны BC. Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям ABC и BCD:

1) $\angle ABD$;

2) $\angle AED$;

3) $\angle BAD$;

4) $\angle ACD$.

Рис. 13.12

Рис. 13.13

Рис. 13.14

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Двугранный угол, о котором идёт речь в задаче, образован плоскостями $(ABC)$ и $(BCD)$. Линией пересечения этих плоскостей (ребром двугранного угла) является прямая $BC$.

Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны ребру. Чтобы найти линейный угол, нужно построить эти два перпендикуляра.

1. Построим перпендикуляр к ребру $BC$ в плоскости $(ABC)$.
По условию, треугольник $ABC$ — правильный. Точка $E$ — середина стороны $BC$. В правильном (равностороннем) треугольнике медиана является также и высотой. Следовательно, медиана $AE$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AE \perp BC$).

2. Построим перпендикуляр к ребру $BC$ в плоскости $(BCD)$, исходящий из той же точки $E$.
По условию, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$. Отрезок $AE$ является проекцией наклонной $DE$ на плоскость $(ABC)$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной ($AE$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и сама наклонная ($DE$) перпендикулярна этой прямой. Так как $AE \perp BC$, следовательно, $DE \perp BC$.

Мы нашли два перпендикуляра к ребру $BC$, проведённые из одной точки $E$: $AE$ в плоскости $(ABC)$ и $DE$ в плоскости $(BCD)$. Угол между ними, $\angle AED$, и является искомым линейным углом двугранного угла.

Теперь проанализируем предложенные варианты:

1) $\angle ABD$: Не является линейным углом. Его сторона $AB$, лежащая в плоскости $(ABC)$, не перпендикулярна ребру $BC$, так как в правильном треугольнике $\angle ABC = 60^\circ$.

2) $\angle AED$: Является линейным углом. Его стороны $AE$ и $DE$ лежат в разных гранях двугранного угла и обе перпендикулярны общему ребру $BC$ в одной точке $E$, что соответствует определению линейного угла.

3) $\angle BAD$: Не является линейным углом двугранного угла с ребром $BC$. Его стороны не являются перпендикулярами к ребру $BC$.

4) $\angle ACD$: Не является линейным углом. Его сторона $AC$, лежащая в плоскости $(ABC)$, не перпендикулярна ребру $BC$, так как в правильном треугольнике $\angle ACB = 60^\circ$.

Ответ: 2) $\angle AED$