Номер 7, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 7, страница 123.

Условие.

13.7. Точка C лежит внутри двугранного угла. Угол между перпендикулярами, опущенными из точки C на грани двугранного угла, равен $110^\circ$.

Найдите данный двугранный угол.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $a$. Точка $C$ лежит внутри этого угла.

Из точки $C$ опущены перпендикуляры на грани двугранного угла. Обозначим их $CA$ и $CB$, где точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. По определению перпендикуляра к плоскости, имеем $CA \perp \alpha$ и $CB \perp \beta$. По условию задачи, угол между этими перпендикулярами равен $110^{\circ}$, то есть $\angle ACB = 110^{\circ}$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, проведенными на его гранях перпендикулярно ребру из одной точки на ребре.

Рассмотрим плоскость $\gamma$, определяемую пересекающимися прямыми $CA$ и $CB$.

Поскольку прямая $CA$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($CA \perp \alpha$), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $a$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, $CA \perp a$.

Аналогично, поскольку прямая $CB$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($CB \perp \beta$), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $a$ также лежит и в плоскости $\beta$, следовательно, $CB \perp a$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $CA$ и $CB$ перпендикулярны одной и той же прямой $a$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, в которой лежат прямые $CA$ и $CB$.

Пусть плоскость $\gamma$ пересекает ребро $a$ в точке $O$. Так как плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $a$, то прямые $OA$ и $OB$, лежащие в плоскости $\gamma$ и проходящие через точку $O$ на ребре $a$, перпендикулярны ребру $a$. При этом прямая $OA$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$, а прямая $OB$ - линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$. По определению, угол $\angle AOB$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $OACB$, который целиком лежит в плоскости $\gamma$. Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна $360^{\circ}$. В этом четырехугольнике нам известны следующие углы:$\angle AOB = \phi$ — это искомый линейный угол.$\angle OAC = 90^{\circ}$, так как $CA \perp \alpha$, а прямая $OA$ лежит в плоскости $\alpha$.$\angle OBC = 90^{\circ}$, так как $CB \perp \beta$, а прямая $OB$ лежит в плоскости $\beta$.$\angle ACB = 110^{\circ}$ — по условию задачи.

Запишем уравнение для суммы углов четырехугольника $OACB$:

$\angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle CBO = 360^{\circ}$

Подставим известные значения:

$\phi + 90^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$

$\phi + 290^{\circ} = 360^{\circ}$

$\phi = 360^{\circ} - 290^{\circ}$

$\phi = 70^{\circ}$

Таким образом, величина данного двугранного угла равна $70^{\circ}$.

Ответ: $70^{\circ}$