Номер 4, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 123.

Условие.

13.4. На одной грани острого двугранного угла отметили точки $A$ и $D$ (рис. 13.12). Из точки $A$ опустили перпендикуляры $AB$ и $AC$ соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Из точки $D$ опустили перпендикуляры $DE$ и $DF$ соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 21$ см, $AC = 12$ см, $DF = 20$ см.

Рис. 13.12

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть данный двугранный угол образован плоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по ребру $l$. Точки $A$ и $D$ лежат в одной грани (пусть это будет плоскость $\alpha$).

Рассмотрим точку $A$. По условию, из точки $A$ опущен перпендикуляр $AB$ на ребро $l$ ($B \in l$), и перпендикуляр $AC$ на другую грань (плоскость $\beta$).

Отрезок $AB$ — это наклонная к плоскости $\beta$. Отрезок $AC$ — это перпендикуляр к плоскости $\beta$. Следовательно, отрезок $BC$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\beta$.

Поскольку $AB \perp l$ (по условию), то по теореме о трёх перпендикулярах, её проекция также перпендикулярна прямой $l$, то есть $BC \perp l$.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведёнными в гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $AB \perp l$ и $BC \perp l$, причём $AB$ лежит в грани $\alpha$, а $BC$ — в грани $\beta$. Значит, $\angle ABC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину $\varphi$.

Так как $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, то $AC \perp BC$ (поскольку $BC$ лежит в плоскости $\beta$). Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle ACB = 90^\circ$).В этом треугольнике мы можем найти синус линейного угла:$sin(\varphi) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

Теперь проделаем аналогичные рассуждения для точки $D$. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DE$ на ребро $l$ ($E \in l$) и перпендикуляр $DF$ на плоскость $\beta$. Угол $\angle DEF$ также является линейным углом этого же двугранного угла, поэтому $\angle DEF = \varphi$. Треугольник $\triangle DEF$ — прямоугольный ($\angle DFE = 90^\circ$).В этом треугольнике синус линейного угла равен:$sin(\varphi) = \frac{DF}{DE}$.

Поскольку величина линейного угла одна и та же, мы можем приравнять выражения для его синуса:$\frac{AC}{AB} = \frac{DF}{DE}$

Подставим известные значения и найдём $DE$:$\frac{12}{21} = \frac{20}{DE}$$\frac{4}{7} = \frac{20}{DE}$Отсюда:$DE = \frac{20 \cdot 7}{4} = 5 \cdot 7 = 35$ см.

Ответ: 35 см.