Номер 2, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 2, страница 122.

Условие.

13.2. На одной из граней двугранного угла, величина которого равна $30^\circ$, отмечена точка $A$ (рис. 13.11). Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 18 см. Чему равно расстояние от точки $A$ до другой грани двугранного угла?

Рис. 13.11

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой (ребру) $c$. Величина этого двугранного угла равна $30^\circ$. Точка $A$ расположена на одной из граней, например, на грани $\alpha$.

Расстояние от точки $A$ до ребра $c$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $c$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $B$. Таким образом, отрезок $AB$ перпендикулярен ребру $c$ ($AB \perp c$), и по условию задачи его длина составляет $AB = 18$ см.

Искомое расстояние от точки $A$ до другой грани, $\beta$, — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $C$. Нам необходимо найти длину отрезка $AC$. По определению перпендикуляра к плоскости, $AC \perp \beta$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $B$ и $C$. Поскольку отрезок $AC$ перпендикулярен плоскости $\beta$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. Точки $B$ и $C$ обе лежат в плоскости $\beta$ (точка $B$ лежит на ребре $c$, которое принадлежит и $\beta$), следовательно, прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$. Отсюда следует, что $AC \perp BC$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол образуется двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре, перпендикулярны ребру и лежат в разных гранях. В нашем случае, луч $BA$ лежит в грани $\alpha$ и перпендикулярен ребру $c$ по построению. Луч $BC$ лежит в грани $\beta$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $AB$ к плоскости $\beta$ перпендикулярна прямой $c$ в этой плоскости, то и ее проекция $BC$ на эту плоскость также перпендикулярна прямой $c$ ($BC \perp c$). Следовательно, угол $\angle ABC$ и есть линейный угол данного двугранного угла.

По условию, величина двугранного угла равна $30^\circ$, значит, $\angle ABC = 30^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ нам известны:

• гипотенуза $AB = 18$ см;
• острый угол $\angle ABC = 30^\circ$;
• катет $AC$, который является искомым расстоянием.

Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
$AC = \frac{1}{2} \cdot AB$
$AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.
Либо, используя определение синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$
$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 18 \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.