Номер 8, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 8, страница 123.

Условие.

13.8. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 13.13).

1) Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям $ABC$ и $AB_1C_1$:

а) $\angle A_1AB$; б) $\angle A_1AB_1$; в) $\angle B_1DA$; г) $\angle B_1AB$; д) $\angle B_1DB$.

2) Найдите величину указанного двугранного угла.

Рис. 13.13

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Двугранный угол образован плоскостями $(ABC)$ и $(AB_1C_1)$. Линия пересечения этих плоскостей — это прямая, по которой они пересекаются. Обе плоскости проходят через точку $A$, значит, точка $A$ лежит на линии их пересечения. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $(AB_1C_1)$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $BCC_1B_1$ — квадрат, поэтому прямые $B_1C_1$ и $BC$ параллельны. Согласно свойству, если одна из двух пересекающихся плоскостей проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой. В нашем случае плоскость $(AB_1C_1)$ проходит через прямую $B_1C_1$, которая параллельна плоскости $(ABC)$ (так как $B_1C_1 \parallel BC$). Однако, это не так, потому что плоскости пересекаются. Корректное рассуждение: Прямая $B_1C_1$ в плоскости $(AB_1C_1)$ параллельна прямой $BC$ в плоскости $(ABC)$. Значит, линия пересечения этих плоскостей, если она существует, должна быть параллельна обеим этим прямым. Так как точка $A$ принадлежит обеим плоскостям, то линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $A$ параллельно $BC$. В квадрате $ABCD$ такой прямой является $AD$. Итак, линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(AB_1C_1)$ — это прямая $AD$.
Линейный угол двугранного угла определяется как угол между двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре двугранного угла, лежащими в его гранях и перпендикулярными ребру. Выберем на ребре $AD$ точку $A$. В плоскости $(ABC)$ проведем перпендикуляр к $AD$ в точке $A$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp AD$. Теперь в плоскости $(AB_1C_1)$ проведем перпендикуляр к $AD$ в точке $A$. Ребро $AD$ перпендикулярно грани $(ABB_1A_1)$, так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$. Следовательно, $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $AB_1$. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $(AB_1C_1)$ по определению. Таким образом, $AB_1 \perp AD$.
Мы построили линейный угол: его стороны — это лучи $AB$ и $AB_1$. Следовательно, искомый линейный угол — это $\angle B_1AB$. Среди предложенных вариантов это вариант г).
Ответ: г) $\angle B_1AB$.

2) Величина двугранного угла равна величине его линейного угла, то есть нам нужно найти величину угла $\angle B_1AB$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABB_1$. Ребро $BB_1$ куба перпендикулярно его основанию $(ABC)$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе и ребру $AB$. Значит, угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$, а треугольник $\triangle ABB_1$ является прямоугольным. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда катеты этого треугольника равны: $AB=a$ и $BB_1=a$. Найдем тангенс угла $\angle B_1AB$: $ \tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{a}{a} = 1 $
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle B_1AB = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.