Номер 13, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13, страница 124.

Условие.

13.13. Даны плоскость $\alpha$ и параллельная ей прямая $a$. Сколько плоскостей можно провести через прямую $a$, таких, что угол $\phi$ между плоскостью $\alpha$ и проведённой плоскостью удовлетворяет условию:

1) $\phi = 90^\circ$;

2) $\phi = 0^\circ$;

3) $0^\circ < \phi < 90^\circ$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $\beta$ — это плоскость, которую мы проводим через прямую $a$. Нам дано, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$ и не лежит в ней. Все плоскости, проходящие через прямую $a$, образуют пучок плоскостей, вращающихся вокруг прямой $a$ как вокруг оси. Угол $\phi$ — это двугранный угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $\beta$.

1) $\phi = 90^{\circ}$

Требуется найти количество плоскостей $\beta$, проходящих через прямую $a$ и перпендикулярных плоскости $\alpha$. Для построения такой плоскости выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$ и опустим из неё перпендикуляр $AA'$ на плоскость $\alpha$. Так как $a \parallel \alpha$, точка $A'$ не лежит на прямой $a$. Прямая $a$ и точка $A'$ определяют единственную плоскость $\beta$. Эта плоскость $\beta$ содержит прямую $a$ по построению. Также она содержит прямую $AA'$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AA'$), перпендикулярную другой плоскости ($\alpha$), то эти плоскости перпендикулярны. Таким образом, существует плоскость $\beta$, перпендикулярная $\alpha$ и содержащая $a$. Эта плоскость единственна, так как она однозначно определяется прямой $a$ и перпендикуляром, опущенным из любой точки этой прямой на плоскость $\alpha$.
Ответ: одна плоскость.

2) $\phi = 0^{\circ}$

Угол между плоскостями равен $0^{\circ}$ в том и только в том случае, если плоскости параллельны. Следовательно, нам нужно найти количество плоскостей $\beta$, которые проходят через прямую $a$ и параллельны плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, по теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной, существует ровно одна плоскость $\beta$, проходящая через прямую $a$ и параллельная плоскости $\alpha$. Если бы существовали две такие различные плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$, то они обе были бы параллельны $\alpha$, а значит, и параллельны друг другу. Но они обе содержат прямую $a$, то есть пересекаются, что противоречит их параллельности.
Ответ: одна плоскость.

3) $0^{\circ} < \phi < 90^{\circ}$

Рассмотрим все плоскости, проходящие через прямую $a$. Как мы выяснили, среди них есть ровно одна плоскость $\beta_0$, параллельная $\alpha$ (для неё $\phi=0^{\circ}$), и ровно одна плоскость $\beta_{90}$, перпендикулярная $\alpha$ (для неё $\phi=90^{\circ}$). Можно представить себе, что мы вращаем плоскость $\beta$ вокруг оси $a$. Если начать с положения $\beta_0$ (параллельно $\alpha$), то при вращении в одну сторону угол $\phi$ будет плавно изменяться от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ (достигая положения $\beta_{90}$) и далее до $180^{\circ}$ (возвращаясь в положение $\beta_0$). Для любого заданного значения угла $\phi_{зад}$ из интервала $(0^{\circ}, 90^{\circ})$ найдется ровно одно положение плоскости при вращении в одну сторону от $\beta_0$ к $\beta_{90}$. Однако вращение от "горизонтальной" плоскости $\beta_0$ можно производить в двух противоположных направлениях ("вверх" и "вниз", если считать $\alpha$ горизонтальной). Эти два вращения создадут две разные плоскости, которые будут симметричны относительно плоскости $\beta_0$ и будут образовывать с плоскостью $\alpha$ один и тот же угол $\phi$. Таким образом, для каждого значения угла $\phi$ из интервала $0^{\circ} < \phi < 90^{\circ}$ существуют ровно две плоскости.
Ответ: две плоскости.