Номер 19, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 19, страница 125.

Условие.

13.19. В гранях двугранного угла, равного 45°, проведены прямые, параллельные его ребру и удалённые от ребра на $2\sqrt{2}$ см и 3 см соответственно. Найдите расстояние между данными параллельными прямыми.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть ребро двугранного угла — прямая $l$. В гранях угла, которые являются полуплоскостями, проведены прямые $a$ и $b$, причём $a \parallel l$ и $b \parallel l$. Из этого следует, что $a \parallel b$.

Расстояние от прямой $a$ до ребра $l$ равно $d_1 = 2\sqrt{2}$ см.Расстояние от прямой $b$ до ребра $l$ равно $d_2 = 3$ см.

Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$, рассмотрим плоскость, перпендикулярную ребру $l$ (и, следовательно, прямым $a$ и $b$).

В этой плоскости сечения ребро $l$ отобразится в точку $O$. Грани двугранного угла будут выглядеть как два луча, выходящие из точки $O$, угол между которыми равен линейному углу двугранного угла, то есть $45°$. Прямые $a$ и $b$ пересекут эту плоскость в точках $A$ и $B$ соответственно.

Расстояния от прямых до ребра будут равны длинам отрезков $OA$ и $OB$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины стороны $AB$ в треугольнике $OAB$, для которого известны две стороны и угол между ними:

• $OA = d_1 = 2\sqrt{2}$ см
• $OB = d_2 = 3$ см
• $\angle AOB = 45°$

Искомое расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно длине отрезка $AB$. Для его нахождения воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(45°)$

Выполним вычисления, зная, что $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$AB^2 = (4 \cdot 2) + 9 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 17 - 12 \cdot \frac{2}{2}$

$AB^2 = 17 - 12$

$AB^2 = 5$

$AB = \sqrt{5}$ см.

Ответ: $\sqrt{5}$ см.