Номер 21, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 21, страница 125.

Условие.

13.21. Ребро $DA$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 13.20), $AB = BC = AC = 8$ см, $BD = 4\sqrt{7}$ см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $BCD$.

Рис. 13.20

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $BCD$, — это двугранный угол при ребре $BC$. Величиной двугранного угла является величина его линейного угла.

Для построения линейного угла проведем в плоскости $ABC$ перпендикуляр к ребру $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний со стороной $AB = BC = AC = 8$ см, его высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, является также и медианой. Обозначим ее $AM$, где $M$ — середина $BC$. По свойству высоты в треугольнике, $AM \perp BC$.

По условию задачи ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Прямая $AM$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, $DA \perp AM$. Также $AM$ является проекцией наклонной $DM$ на плоскость $ABC$. Так как проекция $AM$ перпендикулярна прямой $BC$ (которая лежит в плоскости $ABC$), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $DM$ также перпендикулярна прямой $BC$.

Поскольку $AM \perp BC$ и $DM \perp BC$, угол $\angle DMA$ является линейным углом искомого двугранного угла. Найдем его величину, рассмотрев треугольник $DAM$. Как мы установили, $\angle DAM = 90^\circ$, поэтому треугольник $DAM$ — прямоугольный.

Найдем длины катетов этого треугольника.

Катет $DA$ найдем из прямоугольного треугольника $DAB$ (угол $\angle DAB = 90^\circ$, так как $DA \perp (ABC)$). По теореме Пифагора: $DA^2 = BD^2 - AB^2$ Подставим известные значения $BD = 4\sqrt{7}$ см и $AB = 8$ см: $DA^2 = (4\sqrt{7})^2 - 8^2 = 16 \cdot 7 - 64 = 112 - 64 = 48$ $DA = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Катет $AM$ является высотой в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = 8$ см. Его длина вычисляется по формуле: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $DAM$ катеты оказались равны: $DA = AM = 4\sqrt{3}$ см. Это означает, что треугольник $DAM$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его острые углы равны по $45^\circ$. Следовательно, $\angle DMA = 45^\circ$.

Также величину угла можно найти через тангенс: $\text{tg}(\angle DMA) = \frac{DA}{AM} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 1$ $\angle DMA = \text{arctg}(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^{\circ}$.