Номер 26, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 26, страница 126.

Условие.

13.26. Отрезок $MC$ – перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью $AMD$ равен $45^\circ$. Найдите площадь квадрата, если точка $M$ удалена от прямой $AD$ на 10 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $a$ – сторона квадрата $ABCD$. Тогда $CD = a$.Поскольку отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости квадрата $(ABCD)$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MC \perp CD$. Это означает, что треугольник $\triangle MCD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Угол между плоскостью квадрата $(ABCD)$ и плоскостью $(AMD)$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AD$.

Для нахождения этого угла построим к линии пересечения $AD$ два перпендикуляра, по одному в каждой плоскости, проведенные к одной точке.

1. В плоскости квадрата $(ABCD)$, так как $ABCD$ — квадрат, сторона $CD$ перпендикулярна стороне $AD$, то есть $CD \perp AD$.

2. В плоскости $(AMD)$ рассмотрим наклонную $MD$ и ее проекцию на плоскость $(ABCD)$. Так как $MC \perp (ABCD)$, то $CD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABCD)$. Поскольку проекция $CD$ перпендикулярна прямой $AD$ в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MD$ перпендикулярна прямой $AD$, то есть $MD \perp AD$.

Таким образом, угол $\angle MDC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABCD)$ и $(AMD)$. По условию, $\angle MDC = 45^\circ$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AD$. Мы установили, что $MD \perp AD$, следовательно, длина отрезка $MD$ и есть искомое расстояние. По условию, $MD = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCD$ (где $\angle C = 90^\circ$). В этом треугольнике известны гипотенуза $MD=10$ см и угол $\angle MDC = 45^\circ$. Мы можем найти катет $CD$, который является стороной квадрата.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:$CD = MD \cdot \cos(\angle MDC)$$CD = 10 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Площадь квадрата $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. В нашем случае $a = CD$.$S_{ABCD} = CD^2 = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$ см$^2$.

Ответ: 50 см$^2$.