Номер 32, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 32, страница 126.

Условие.

13.32. Треугольники $ABC$ и $ADC$ лежат в разных плоскостях, $AB = BC = AD = CD = 4$ см, $AC = 6$ см, $BD = \sqrt{21}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ADC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ADC$ — это величина двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения данных плоскостей является их общая сторона $AC$. Для нахождения угла между плоскостями построим линейный угол этого двугранного угла.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC = 4$ см, он является равнобедренным с основанием $AC$. Проведем в нем медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $BM \perp AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ стороны $AD = CD = 4$ см, значит, он также является равнобедренным с основанием $AC$. Проведем в нем медиану $DM$ к основанию $AC$. Так как $M$ — середина $AC$, $DM$ является высотой, и, следовательно, $DM \perp AC$.

Поскольку $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$, угол $\angle BMD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ADC$. Найдем величину этого угла.

Для этого рассмотрим треугольник $BMD$ и найдем длины его сторон.
Точка $M$ — середина $AC$, поэтому $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
В прямоугольном треугольнике $ABM$ (угол $\angle AMB = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем катет $BM$:
$BM^2 = AB^2 - AM^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$.
$BM = \sqrt{7}$ см.
В прямоугольном треугольнике $ADM$ (угол $\angle AMD = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем катет $DM$:
$DM^2 = AD^2 - AM^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$.
$DM = \sqrt{7}$ см.
Сторона $BD$ дана по условию: $BD = \sqrt{21}$ см.

Теперь, зная все три стороны треугольника $BMD$, мы можем найти косинус угла $\angle BMD$ по теореме косинусов. Пусть искомый угол $\angle BMD = \alpha$.
$BD^2 = BM^2 + DM^2 - 2 \cdot BM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$
Подставим найденные значения:
$(\sqrt{21})^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \cos(\alpha)$
$21 = 7 + 7 - 2 \cdot 7 \cdot \cos(\alpha)$
$21 = 14 - 14 \cos(\alpha)$
$14 \cos(\alpha) = 14 - 21$
$14 \cos(\alpha) = -7$
$\cos(\alpha) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$
Отсюда, $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.