Номер 39, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 39, страница 127.

Условие.

13.39. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите угол между плоскостями $BC_1 D$ и $AD_1 C$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения угла между плоскостями $(BC_1D)$ и $(AD_1C)$, воспользуемся геометрическим методом. Пусть ребро куба равно $a$.

1. Построение параллельной плоскости.
Рассмотрим плоскость $(A_1BC_1)$. Докажем, что она параллельна плоскости $(AD_1C)$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеем:
- $A_1C_1$ - диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$, $AC$ - диагональ грани $ABCD$. Так как грани $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ параллельны, то $A_1C_1 \parallel AC$.
- Рассмотрим отрезки $A_1B$ и $D_1C$. Вектор $\vec{A_1B}$ равен вектору $\vec{D_1C}$, так как они получаются параллельным переносом ребра $D_1A_1$ на вектор $\vec{A_1A}$ и ребра $DC$ на вектор $\vec{CC_1}$ соответственно, а $\vec{A_1B} = \vec{A_1D_1} + \vec{D_1C} + \vec{CB}$. Проще в координатах: если $A_1(0,0,a)$, $B(a,0,0)$, $D_1(0,a,a)$, $C(a,a,0)$, то $\vec{A_1B} = (a, 0, -a)$ и $\vec{D_1C} = (a, 0, -a)$. Следовательно, $A_1B \parallel D_1C$.
Таким образом, две пересекающиеся прямые ($A_1C_1$ и $A_1B$) в плоскости $(A_1BC_1)$ параллельны двум пересекающимся прямым ($AC$ и $D_1C$) в плоскости $(AD_1C)$. Следовательно, плоскости $(A_1BC_1)$ и $(AD_1C)$ параллельны.
Это означает, что угол между плоскостями $(BC_1D)$ и $(AD_1C)$ равен углу между плоскостями $(BC_1D)$ и $(A_1BC_1)$.

2. Нахождение угла между плоскостями $(BC_1D)$ и $(A_1BC_1)$.
Эти две плоскости пересекаются по прямой $BC_1$. Угол между ними — это двугранный угол, образованный полуплоскостями с общей границей $BC_1$. Для нахождения этого угла построим его линейный угол.

3. Построение линейного угла.
Рассмотрим треугольники $\triangle BC_1D$ и $\triangle A_1BC_1$.
- Стороны треугольника $\triangle BC_1D$ ($BC_1$, $C_1D$, $DB$) являются диагоналями граней куба. Длина каждой из них равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $\triangle BC_1D$ — равносторонний.
- Аналогично, стороны треугольника $\triangle A_1BC_1$ ($A_1B$, $BC_1$, $C_1A_1$) также являются диагоналями граней куба, и их длина равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $\triangle A_1BC_1$ — тоже равносторонний.
Пусть $M$ — середина их общего ребра $BC_1$. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой. Поэтому:
- В $\triangle BC_1D$ медиана $DM$ перпендикулярна стороне $BC_1$ ($DM \perp BC_1$).
- В $\triangle A_1BC_1$ медиана $A_1M$ перпендикулярна стороне $BC_1$ ($A_1M \perp BC_1$).
Следовательно, угол $\angle DMA_1$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(BC_1D)$ и $(A_1BC_1)$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

4. Вычисление угла $\angle DMA_1$.
Найдем величину угла $\alpha$ из треугольника $\triangle DMA_1$ по теореме косинусов. Для этого вычислим длины его сторон:
- $DM$ и $A_1M$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $s = a\sqrt{2}$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $s$ равна $\frac{s\sqrt{3}}{2}$.
$DM = A_1M = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
- $A_1D$ — диагональ грани куба $ADD_1A_1$. Ее длина равна $A_1D = a\sqrt{2}$.
Применим теорему косинусов для $\triangle DMA_1$:
$A_1D^2 = DM^2 + A_1M^2 - 2 \cdot DM \cdot A_1M \cdot \cos(\alpha)$
Подставляем найденные длины:
$(a\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \cos(\alpha)$
$2a^2 = \frac{6a^2}{4} + \frac{6a^2}{4} - 2 \cdot \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$
$2a^2 = \frac{3a^2}{2} + \frac{3a^2}{2} - 3a^2 \cdot \cos(\alpha)$
$2a^2 = 3a^2 - 3a^2 \cdot \cos(\alpha)$
$3a^2 \cdot \cos(\alpha) = 3a^2 - 2a^2$
$3a^2 \cdot \cos(\alpha) = a^2$
$\cos(\alpha) = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$
Таким образом, искомый угол $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.