Номер 40, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 40, страница 127.

Условие.

13.40. Через середину диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ прямоугольника в точках $M$ и $K$ соответственно, $AC = 15$ см, $AK = 4$ см, $KD = 8$ см. Найдите площадь четырёхугольника $AMCK$.

Решение 1.

Решение 3.

1. Найдем длину стороны $AD$ прямоугольника $ABCD$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AD$, длина $AD$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KD$.
$AD = AK + KD = 4 \text{ см} + 8 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором $\angle D = 90^{\circ}$. По теореме Пифагора найдем длину катета $CD$, который также является стороной прямоугольника.
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$15^2 = 12^2 + CD^2$
$225 = 144 + CD^2$
$CD^2 = 225 - 144 = 81$
$CD = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$.
Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, следовательно, $AB = CD = 9 \text{ см}$.

3. Пусть $O$ — середина диагонали $AC$. По условию, прямая, содержащая точки $M$ и $K$, проходит через точку $O$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle COM$.
- $AO = CO$, так как $O$ — середина отрезка $AC$.
- $\angle KAO = \angle MCO$, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
- $\angle AOK = \angle COM$, так как это вертикальные углы.
Следовательно, $\triangle AOK \cong \triangle COM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AK = CM$. По условию $AK = 4 \text{ см}$, значит, $CM = 4 \text{ см}$.

5. В четырёхугольнике $AMCK$ противоположные стороны $AK$ и $CM$ параллельны (так как лежат на параллельных сторонах прямоугольника $AD$ и $BC$) и равны ($AK=CM=4 \text{ см}$). Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Таким образом, $AMCK$ — это параллелограмм.

6. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. В качестве основания параллелограмма $AMCK$ возьмем сторону $AK$. Высотой, проведённой к этому основанию, является перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$, которое равно длине стороны $AB$ (или $CD$) прямоугольника.
Основание $AK = 4 \text{ см}$.
Высота $h = AB = 9 \text{ см}$.
Площадь параллелограмма $AMCK$ составляет:
$S_{AMCK} = AK \cdot h = 4 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.