Номер 35, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 35, страница 126.

Условие.

13.35. Концы отрезка $CD$ принадлежат разным граням двугранного угла, равного $30^\circ$. Из точек $C$ и $D$ опустили перпендикуляры $CE$ и $DF$ на ребро двугранного угла. Найдите отрезок $CE$, если $CD = 5$ см, $DF = 4\sqrt{3}$ см, $EF = 2$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — грани двугранного угла, а $l$ — его ребро. По условию, точка $C$ принадлежит грани $\alpha$, а точка $D$ — грани $\beta$. Угол между гранями равен $30^\circ$. Отрезки $CE$ и $DF$ — перпендикуляры, опущенные из точек $C$ и $D$ на ребро $l$, причем точки $E$ и $F$ лежат на ребре $l$.

Спроецируем точку $D$ на плоскость $\alpha$. Обозначим ее проекцию как $D'$. Тогда отрезок $DD'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Рассмотрим треугольник $\triangle DFD'$. Так как $DD' \perp \alpha$ и $FD'$ лежит в плоскости $\alpha$, то $\triangle DFD'$ — прямоугольный. Угол $\angle DFD'$ является линейным углом данного двугранного угла, следовательно, $\angle DFD' = 30^\circ$.

Найдем длины катетов в прямоугольном треугольнике $\triangle DFD'$:

$DD' = DF \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

$FD' = DF \cdot \cos(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDD'$, в котором $CD$ является гипотенузой, а $DD'$ и $CD'$ — катетами (поскольку $DD' \perp \alpha$, то $DD'$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе $CD'$). Применим теорему Пифагора:

$CD^2 = (CD')^2 + (DD')^2$

$5^2 = (CD')^2 + (2\sqrt{3})^2$

$25 = (CD')^2 + 12$

$(CD')^2 = 13$, откуда $CD' = \sqrt{13}$ см.

Точки $C, E, F, D'$ лежат в одной плоскости $\alpha$. По условию, $CE$ перпендикулярен ребру $l$, то есть $CE \perp EF$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $DF$ перпендикулярна прямой $EF$, то и ее проекция $D'F$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $D'F \perp EF$.

Так как $CE \perp EF$ и $D'F \perp EF$, отрезки $CE$ и $D'F$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $CEFD'$ является прямоугольной трапецией с основаниями $CE$ и $D'F$ и высотой $EF$.

Обозначим искомую длину $CE$ через $x$. В этой трапеции основания равны $x$ и 6, высота равна 2, а боковая сторона $CD'$ равна $\sqrt{13}$. Чтобы найти $x$, проведем из точки $C$ высоту $CH$ к прямой $D'F$. Тогда $CH = EF = 2$, а $D'H = |D'F - CE| = |6-x|$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CD'H$. По теореме Пифагора:

$(CD')^2 = CH^2 + (D'H)^2$

$(\sqrt{13})^2 = 2^2 + |6-x|^2$

$13 = 4 + (6-x)^2$

$(6-x)^2 = 9$

Это уравнение имеет два решения:

1) $6-x = 3 \implies x = 3$

2) $6-x = -3 \implies x = 9$

Оба значения положительны, следовательно, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 3 см или 9 см.