Номер 28, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 28, страница 126.

Условие.

13.28. Через основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $45^\circ$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если $AC = 12$ см, $AB = 10$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $BH$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$.

Плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $\alpha$ пересекаются по прямой $AC$. Угол между плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для его построения проведем в равнобедренном треугольнике $ABC$ высоту (она же и медиана) $BM$ к основанию $AC$. Так как $BM$ — высота, то $BM \perp AC$.

Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $BM$ на плоскость $\alpha$ (поскольку $BH \perp \alpha$). По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $BM$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости $\alpha$, то и ее проекция $HM$ перпендикулярна прямой $AC$ ($HM \perp AC$).

Таким образом, угол $\angle BMH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$. По условию задачи, $\angle BMH = 45^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$. Так как $BM$ является медианой, точка $M$ — середина основания $AC$. Следовательно, $AM = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (поскольку $BM$ — высота, $\angle AMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BM$: $BM^2 = AB^2 - AM^2$ $BM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ $BM = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHM$ (поскольку $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $\angle BHM = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $BM = 8$ см и острый угол $\angle BMH = 45^\circ$. Искомое расстояние — это катет $BH$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $BH = BM \cdot \sin(\angle BMH)$ $BH = 8 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.