Номер 23, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 23, страница 125.

Условие.

13.23. Точка $D$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$, если $AC = BC = 2$ см, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на $\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ - проекция точки $D$ на плоскость $ABC$. Тогда длина отрезка $DO$ равна расстоянию от точки $D$ до плоскости $ABC$, и по условию, $DO = \sqrt{3}$ см. Из определения проекции следует, что $DO \perp (ABC)$.

Поскольку точка $D$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ (т.е. $DA = DB = DC$), ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с $\angle ACB = 90^\circ$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, точка $O$ - это середина гипотенузы $AB$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ - это двугранный угол, ребром которого является их линия пересечения $AC$. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

Проведем из точки $O$ в плоскости $ABC$ перпендикуляр $OK$ к прямой $AC$. Так как $DO \perp (ABC)$, то $DO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OK$. Таким образом, $\triangle DKO$ - прямоугольный. Отрезок $OK$ является проекцией наклонной $DK$ на плоскость $ABC$. Поскольку проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AC$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DK$ перпендикулярна $AC$.

Так как $OK \perp AC$ и $DK \perp AC$, то угол $\angle DKO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ACD$. Найдем величину этого угла.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AC = BC = 2$ см, $\angle C = 90^\circ$. Точка $O$ - середина гипотенузы $AB$. Так как $OK \perp AC$ и $BC \perp AC$, то прямые $OK$ и $BC$ параллельны. Поскольку $OK$ проходит через середину стороны $AB$ и параллельна стороне $BC$, $OK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна: $OK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DKO$. Мы знаем длины его катетов: $DO = \sqrt{3}$ см (по условию) и $OK = 1$ см. Найдем тангенс угла $\angle DKO$: $\text{tg}(\angle DKO) = \frac{DO}{OK} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle DKO = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.