Номер 20, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 20, страница 125.

Условие.

13.20. Плоскость $ \alpha $ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым $ m $ и $ n $. Расстояние от ребра двугранного угла до прямой $ m $ равно 3 см, до прямой $ n $ – 5 см, а расстояние между прямыми $ m $ и $ n $ – 7 см. Найдите данный двугранный угол.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\gamma_1$ и $\gamma_2$ с общим ребром $c$. Плоскость $\alpha$ пересекает грань $\gamma_1$ по прямой $m$ и грань $\gamma_2$ по прямой $n$. По условию задачи, прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$).

Так как две параллельные прямые $m$ и $n$ лежат в плоскости $\alpha$, а также в гранях $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно, то линия пересечения этих граней (ребро $c$) должна быть параллельна плоскости $\alpha$. Отсюда следует, что ребро $c$ параллельно прямым $m$ и $n$, лежащим в плоскости $\alpha$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого выберем на ребре $c$ произвольную точку $O$ и проведём через неё плоскость $\beta$, перпендикулярную ребру $c$.

Поскольку $c \parallel m$ и $c \parallel n$, то плоскость $\beta$, будучи перпендикулярной $c$, будет перпендикулярна и прямым $m$ и $n$. Пусть плоскость $\beta$ пересекает прямую $m$ в точке $M$ и прямую $n$ в точке $N$.

Угол $\angle MON$ по построению является линейным углом данного двугранного угла. Найдём его величину.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMN$, который лежит в плоскости $\beta$.

• Длина отрезка $OM$ — это расстояние между параллельными прямыми $c$ и $m$, измеренное в перпендикулярной к ним плоскости. По условию, это расстояние равно 3 см. Таким образом, $OM = 3$ см.
• Длина отрезка $ON$ — это расстояние между параллельными прямыми $c$ и $n$. По условию, это расстояние равно 5 см. Таким образом, $ON = 5$ см.
• Длина отрезка $MN$ — это расстояние между параллельными прямыми $m$ и $n$. По условию, это расстояние равно 7 см. Таким образом, $MN = 7$ см.

Мы получили треугольник $\triangle OMN$ со сторонами $OM = 3$ см, $ON = 5$ см и $MN = 7$ см. Нам нужно найти угол $\angle MON$. Обозначим его как $\phi$.

Применим к треугольнику $\triangle OMN$ теорему косинусов:

$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения в формулу:

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\phi)$

$49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\phi)$

$49 = 34 - 30 \cdot \cos(\phi)$

$49 - 34 = -30 \cdot \cos(\phi)$

$15 = -30 \cdot \cos(\phi)$

$\cos(\phi) = \frac{15}{-30} = -\frac{1}{2}$

Учитывая, что величина двугранного угла находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, находим угол $\phi$:

$\phi = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.