Номер 14, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14, страница 124.

Условие.

13.14. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 13.17). Найдите угол между плоскостями $ABM$ и $CBM$.

Рис. 13.17

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к их общей линии пересечения из одной и той же точки, причем каждый перпендикуляр лежит в своей плоскости.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CBM)$. Обе плоскости содержат отрезок $MB$, следовательно, прямая $MB$ является их линией пересечения.

2. По условию задачи, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, что записывается как $MB \perp (ABC)$.

3. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $B$.

4. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $B$, значит, $MB \perp AB$. Прямая $AB$ принадлежит плоскости $(ABM)$.

5. Аналогично, прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $B$, значит, $MB \perp BC$. Прямая $BC$ принадлежит плоскости $(CBM)$.

6. Таким образом, мы нашли два отрезка, $AB$ и $BC$, которые перпендикулярны общей линии пересечения $MB$ в точке $B$. Следовательно, угол между плоскостями $(ABM)$ и $(CBM)$ равен углу между этими отрезками, то есть углу $\angle ABC$.

7. В условии сказано, что треугольник $ABC$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle ABC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$