Страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.10. Прямоугольники $ABCD$ и $BCEF$ лежат в разных плоскостях (рис. 13.15), причём прямая $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные прямоугольники, если $AF = \sqrt{15}$ см, $CD = \sqrt{5}$ см.

Рис. 13.15

Двугранный угол, грани которого содержат прямоугольники $ABCD$ и $BCEF$, определяется линейным углом, образованным на их общей прямой $BC$.

Для нахождения этого линейного угла построим перпендикуляры к прямой $BC$ в одной точке, лежащие в плоскостях данных прямоугольников. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AB \perp BC$). Аналогично, так как $BCEF$ — прямоугольник, его сторона $FB$ перпендикулярна стороне $BC$ ($FB \perp BC$). Оба перпендикуляра, $AB$ и $FB$, исходят из одной точки $B$. Следовательно, угол $\angle ABF$ является линейным углом искомого двугранного угла.

По условию задачи, прямая $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что $AF$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AF \perp AB$. Таким образом, треугольник $\triangle ABF$ является прямоугольным с прямым углом $\angle FAB = 90^\circ$.

Для того чтобы найти величину угла $\angle ABF$, определим длины катетов треугольника $\triangle ABF$:

• Длина катета $AF$ дана в условии: $AF = \sqrt{15}$ см.
• Длина катета $AB$ равна длине противоположной стороны $CD$ в прямоугольнике $ABCD$. По условию $CD = \sqrt{5}$ см, следовательно, $AB = \sqrt{5}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABF$ тангенс угла $\angle ABF$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $ \tan(\angle ABF) = \frac{AF}{AB} $.

Подставим известные значения: $ \tan(\angle ABF) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3} $.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, — это $60^\circ$. Значит, $\angle ABF = 60^\circ$. Так как величина двугранного угла равна величине его линейного угла, искомый двугранный угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

13.11. Треугольники ABC и ACD лежат в разных плоскостях (рис. 13.16), причём прямая BD перпендикулярна плоскости ABC. Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные треугольники, если $\angle ACD = 90^\circ$, $BC = 6$ см, $CD = 12$ см.

Рис. 13.15

Рис. 13.16

Двугранный угол, о котором идёт речь в задаче, образован плоскостями $(ABC)$ и $(ACD)$. Ребром этого двугранного угла является общая прямая для данных плоскостей, то есть прямая $AC$.

Для нахождения величины двугранного угла необходимо найти его линейный угол. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре, лежат в разных гранях и перпендикулярны ребру.

По условию задачи, $\angle ACD = 90^\circ$, что означает $CD \perp AC$. Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ACD)$.

Также по условию, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Это означает, что $BD$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$, $DC$ — наклонная к этой плоскости, а $BC$ — её проекция на плоскость $(ABC)$.

Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции. В нашем случае прямая $AC$ в плоскости $(ABC)$ перпендикулярна наклонной $DC$ ($AC \perp DC$). Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна и проекции $BC$. Таким образом, $AC \perp BC$, а значит, $\angle BCA = 90^\circ$.

Мы получили, что $CD \perp AC$ и $BC \perp AC$. Так как лучи $CB$ и $CD$ исходят из одной точки $C$ на ребре $AC$ и перпендикулярны ему, то угол $\angle BCD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ACD)$.

Теперь найдём величину угла $\angle BCD$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Поскольку $BD \perp (ABC)$, то прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BC$. Значит, $\angle DBC = 90^\circ$, и треугольник $BCD$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $BCD$ нам известны длины катета $BC = 6$ см и гипотенузы $CD = 12$ см. Косинус угла $\angle BCD$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos(\angle BCD) = \frac{BC}{CD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle BCD = 60^\circ$.

Поскольку $\angle BCD$ является линейным углом искомого двугранного угла, то величина этого двугранного угла равна $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

13.12. Один из двугранных углов, образовавшихся при пересечении двух плоскостей, равен $130^\circ$. Найдите угол между данными плоскостями.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Они попарно равны (как вертикальные), а сумма смежных двугранных углов составляет $180^\circ$.

По условию задачи, один из этих углов равен $130^\circ$. Обозначим его как $\alpha$.

$\alpha = 130^\circ$

Найдем смежный с ним угол, который обозначим как $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Таким образом, при пересечении данных плоскостей образуются два двугранных угла величиной $130^\circ$ и два двугранных угла величиной $50^\circ$.

По определению, углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего (острого или прямого) из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Значение угла между плоскостями всегда находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Сравнивая два полученных угла, $130^\circ$ и $50^\circ$, мы должны выбрать меньший из них.

$50^\circ < 130^\circ$

Следовательно, угол между данными плоскостями равен $50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

13.13. Даны плоскость $\alpha$ и параллельная ей прямая $a$. Сколько плоскостей можно провести через прямую $a$, таких, что угол $\phi$ между плоскостью $\alpha$ и проведённой плоскостью удовлетворяет условию:

1) $\phi = 90^\circ$;

2) $\phi = 0^\circ$;

3) $0^\circ < \phi < 90^\circ$?

Пусть $\beta$ — это плоскость, которую мы проводим через прямую $a$. Нам дано, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$ и не лежит в ней. Все плоскости, проходящие через прямую $a$, образуют пучок плоскостей, вращающихся вокруг прямой $a$ как вокруг оси. Угол $\phi$ — это двугранный угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $\beta$.

1) $\phi = 90^{\circ}$

Требуется найти количество плоскостей $\beta$, проходящих через прямую $a$ и перпендикулярных плоскости $\alpha$. Для построения такой плоскости выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$ и опустим из неё перпендикуляр $AA'$ на плоскость $\alpha$. Так как $a \parallel \alpha$, точка $A'$ не лежит на прямой $a$. Прямая $a$ и точка $A'$ определяют единственную плоскость $\beta$. Эта плоскость $\beta$ содержит прямую $a$ по построению. Также она содержит прямую $AA'$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AA'$), перпендикулярную другой плоскости ($\alpha$), то эти плоскости перпендикулярны. Таким образом, существует плоскость $\beta$, перпендикулярная $\alpha$ и содержащая $a$. Эта плоскость единственна, так как она однозначно определяется прямой $a$ и перпендикуляром, опущенным из любой точки этой прямой на плоскость $\alpha$.
Ответ: одна плоскость.

2) $\phi = 0^{\circ}$

Угол между плоскостями равен $0^{\circ}$ в том и только в том случае, если плоскости параллельны. Следовательно, нам нужно найти количество плоскостей $\beta$, которые проходят через прямую $a$ и параллельны плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, по теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной, существует ровно одна плоскость $\beta$, проходящая через прямую $a$ и параллельная плоскости $\alpha$. Если бы существовали две такие различные плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$, то они обе были бы параллельны $\alpha$, а значит, и параллельны друг другу. Но они обе содержат прямую $a$, то есть пересекаются, что противоречит их параллельности.
Ответ: одна плоскость.

3) $0^{\circ} < \phi < 90^{\circ}$

Рассмотрим все плоскости, проходящие через прямую $a$. Как мы выяснили, среди них есть ровно одна плоскость $\beta_0$, параллельная $\alpha$ (для неё $\phi=0^{\circ}$), и ровно одна плоскость $\beta_{90}$, перпендикулярная $\alpha$ (для неё $\phi=90^{\circ}$). Можно представить себе, что мы вращаем плоскость $\beta$ вокруг оси $a$. Если начать с положения $\beta_0$ (параллельно $\alpha$), то при вращении в одну сторону угол $\phi$ будет плавно изменяться от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ (достигая положения $\beta_{90}$) и далее до $180^{\circ}$ (возвращаясь в положение $\beta_0$). Для любого заданного значения угла $\phi_{зад}$ из интервала $(0^{\circ}, 90^{\circ})$ найдется ровно одно положение плоскости при вращении в одну сторону от $\beta_0$ к $\beta_{90}$. Однако вращение от "горизонтальной" плоскости $\beta_0$ можно производить в двух противоположных направлениях ("вверх" и "вниз", если считать $\alpha$ горизонтальной). Эти два вращения создадут две разные плоскости, которые будут симметричны относительно плоскости $\beta_0$ и будут образовывать с плоскостью $\alpha$ один и тот же угол $\phi$. Таким образом, для каждого значения угла $\phi$ из интервала $0^{\circ} < \phi < 90^{\circ}$ существуют ровно две плоскости.
Ответ: две плоскости.

13.14. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 13.17). Найдите угол между плоскостями $ABM$ и $CBM$.

Рис. 13.17

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к их общей линии пересечения из одной и той же точки, причем каждый перпендикуляр лежит в своей плоскости.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CBM)$. Обе плоскости содержат отрезок $MB$, следовательно, прямая $MB$ является их линией пересечения.

2. По условию задачи, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, что записывается как $MB \perp (ABC)$.

3. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $B$.

4. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $B$, значит, $MB \perp AB$. Прямая $AB$ принадлежит плоскости $(ABM)$.

5. Аналогично, прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $B$, значит, $MB \perp BC$. Прямая $BC$ принадлежит плоскости $(CBM)$.

6. Таким образом, мы нашли два отрезка, $AB$ и $BC$, которые перпендикулярны общей линии пересечения $MB$ в точке $B$. Следовательно, угол между плоскостями $(ABM)$ и $(CBM)$ равен углу между этими отрезками, то есть углу $\angle ABC$.

7. В условии сказано, что треугольник $ABC$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle ABC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

13.15. Отрезок $CE$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$ (рис. 13.18). Найдите угол между плоскостями $BCE$ и $DCE$.

Рис. 13.17

Рис. 13.18

Рис. 13.19

Угол между двумя пересекающимися плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линейный угол — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке, причем эти перпендикуляры лежат в данных плоскостях.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $BCE$ и $DCE$. Очевидно, что обе плоскости проходят через общую прямую $CE$. Значит, $CE$ — линия их пересечения.

2. По условию, отрезок $CE$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Это означает, что $CE$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$ и проходящей через точку $C$.

3. Прямая $BC$ является стороной квадрата $ABCD$, она лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку $C$. Следовательно, $CE \perp BC$.

4. Прямая $CD$ также является стороной квадрата $ABCD$, она лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку $C$. Следовательно, $CE \perp CD$.

5. Мы построили линейный угол двугранного угла. В точке $C$ на линии пересечения $CE$ мы имеем два перпендикуляра к этой линии:

• $BC$ в плоскости $BCE$ (так как $BC \perp CE$)
• $CD$ в плоскости $DCE$ (так как $CD \perp CE$)

Таким образом, угол между плоскостями $BCE$ и $DCE$ равен углу между прямыми $BC$ и $CD$, то есть углу $\angle BCD$.

6. Поскольку $ABCD$ — квадрат, все его углы прямые. Значит, $\angle BCD = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.