Страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.38. Точка $M$ равноудалена от вершин квадрата $ABCD$, точка $O$ — центр данного квадрата, $MO = AC$. Точка $K$ — середина отрезка $MC$. Найдите тангенс угла между плоскостями $BMD$ и $BKD$.

Плоскости $BMD$ и $BKD$ пересекаются по прямой $BD$. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата $ABCD$, ее проекция на плоскость квадрата совпадает с центром квадрата $O$. Это означает, что отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $(ABCD)$. Следовательно, $MO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$, в том числе и диагонали $BD$. Таким образом, $MO \perp BD$.

Рассмотрим треугольники $MBC$ и $MDC$. В них:

• $MB = MD$ (так как $M$ равноудалена от вершин).
• $BC = DC$ (стороны квадрата).
• $MC$ – общая сторона.

Следовательно, $\triangle MBC \cong \triangle MDC$ по трем сторонам.Поскольку точка $K$ является серединой общей стороны $MC$, то отрезки $BK$ и $DK$ являются соответствующими медианами в равных треугольниках. Отсюда следует, что $BK = DK$.

Таким образом, треугольник $BKD$ является равнобедренным с основанием $BD$. Точка $O$ – центр квадрата, а значит, середина диагонали $BD$. Следовательно, $KO$ – медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике $BKD$, а значит, $KO$ является и высотой. То есть, $KO \perp BD$.

Так как $MO \perp BD$ и $KO \perp BD$, то угол между плоскостями $(BMD)$ и $(BKD)$ равен линейному углу $\angle MOK$.

Рассмотрим треугольник $MOC$. Так как $MO \perp (ABCD)$, а отрезок $OC$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $O$, то $MO \perp OC$. Следовательно, $\triangle MOC$ – прямоугольный с прямым углом при вершине $O$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $s$. Тогда его диагональ $AC = s\sqrt{2}$.По условию задачи $MO = AC$, значит, $MO = s\sqrt{2}$.Точка $O$ является центром квадрата, поэтому $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения тангенса угла $\angle MOK$ рассмотрим прямоугольный треугольник $MOC$. Проведем из точки $K$ (середины гипотенузы $MC$) перпендикуляр $KH$ к катету $MO$. В этом случае $KH$ будет параллельна катету $OC$.

По теореме Фалеса (или как средняя линия), так как $K$ – середина $MC$, то точка $H$ будет серединой $MO$, а отрезок $KH$ будет равен половине $OC$.
$OH = \frac{1}{2}MO = \frac{1}{2}(s\sqrt{2}) = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.
$KH = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}\left(\frac{s\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{s\sqrt{2}}{4}$.

Теперь рассмотрим треугольник $OKH$. Он прямоугольный, так как $KH \perp MO$ по построению. В этом треугольнике искомый угол $\angle MOK$ (он же $\angle HOK$) можно найти через тангенс:
$\text{tg}(\angle MOK) = \frac{KH}{OH} = \frac{\frac{s\sqrt{2}}{4}}{\frac{s\sqrt{2}}{2}} = \frac{s\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{s\sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0.5$.

13.39. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите угол между плоскостями $BC_1 D$ и $AD_1 C$.

Для нахождения угла между плоскостями $(BC_1D)$ и $(AD_1C)$, воспользуемся геометрическим методом. Пусть ребро куба равно $a$.

1. Построение параллельной плоскости.
Рассмотрим плоскость $(A_1BC_1)$. Докажем, что она параллельна плоскости $(AD_1C)$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеем:
- $A_1C_1$ - диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$, $AC$ - диагональ грани $ABCD$. Так как грани $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ параллельны, то $A_1C_1 \parallel AC$.
- Рассмотрим отрезки $A_1B$ и $D_1C$. Вектор $\vec{A_1B}$ равен вектору $\vec{D_1C}$, так как они получаются параллельным переносом ребра $D_1A_1$ на вектор $\vec{A_1A}$ и ребра $DC$ на вектор $\vec{CC_1}$ соответственно, а $\vec{A_1B} = \vec{A_1D_1} + \vec{D_1C} + \vec{CB}$. Проще в координатах: если $A_1(0,0,a)$, $B(a,0,0)$, $D_1(0,a,a)$, $C(a,a,0)$, то $\vec{A_1B} = (a, 0, -a)$ и $\vec{D_1C} = (a, 0, -a)$. Следовательно, $A_1B \parallel D_1C$.
Таким образом, две пересекающиеся прямые ($A_1C_1$ и $A_1B$) в плоскости $(A_1BC_1)$ параллельны двум пересекающимся прямым ($AC$ и $D_1C$) в плоскости $(AD_1C)$. Следовательно, плоскости $(A_1BC_1)$ и $(AD_1C)$ параллельны.
Это означает, что угол между плоскостями $(BC_1D)$ и $(AD_1C)$ равен углу между плоскостями $(BC_1D)$ и $(A_1BC_1)$.

2. Нахождение угла между плоскостями $(BC_1D)$ и $(A_1BC_1)$.
Эти две плоскости пересекаются по прямой $BC_1$. Угол между ними — это двугранный угол, образованный полуплоскостями с общей границей $BC_1$. Для нахождения этого угла построим его линейный угол.

3. Построение линейного угла.
Рассмотрим треугольники $\triangle BC_1D$ и $\triangle A_1BC_1$.
- Стороны треугольника $\triangle BC_1D$ ($BC_1$, $C_1D$, $DB$) являются диагоналями граней куба. Длина каждой из них равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $\triangle BC_1D$ — равносторонний.
- Аналогично, стороны треугольника $\triangle A_1BC_1$ ($A_1B$, $BC_1$, $C_1A_1$) также являются диагоналями граней куба, и их длина равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $\triangle A_1BC_1$ — тоже равносторонний.
Пусть $M$ — середина их общего ребра $BC_1$. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой. Поэтому:
- В $\triangle BC_1D$ медиана $DM$ перпендикулярна стороне $BC_1$ ($DM \perp BC_1$).
- В $\triangle A_1BC_1$ медиана $A_1M$ перпендикулярна стороне $BC_1$ ($A_1M \perp BC_1$).
Следовательно, угол $\angle DMA_1$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(BC_1D)$ и $(A_1BC_1)$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

4. Вычисление угла $\angle DMA_1$.
Найдем величину угла $\alpha$ из треугольника $\triangle DMA_1$ по теореме косинусов. Для этого вычислим длины его сторон:
- $DM$ и $A_1M$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $s = a\sqrt{2}$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $s$ равна $\frac{s\sqrt{3}}{2}$.
$DM = A_1M = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
- $A_1D$ — диагональ грани куба $ADD_1A_1$. Ее длина равна $A_1D = a\sqrt{2}$.
Применим теорему косинусов для $\triangle DMA_1$:
$A_1D^2 = DM^2 + A_1M^2 - 2 \cdot DM \cdot A_1M \cdot \cos(\alpha)$
Подставляем найденные длины:
$(a\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \cos(\alpha)$
$2a^2 = \frac{6a^2}{4} + \frac{6a^2}{4} - 2 \cdot \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$
$2a^2 = \frac{3a^2}{2} + \frac{3a^2}{2} - 3a^2 \cdot \cos(\alpha)$
$2a^2 = 3a^2 - 3a^2 \cdot \cos(\alpha)$
$3a^2 \cdot \cos(\alpha) = 3a^2 - 2a^2$
$3a^2 \cdot \cos(\alpha) = a^2$
$\cos(\alpha) = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$
Таким образом, искомый угол $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

13.40. Через середину диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ прямоугольника в точках $M$ и $K$ соответственно, $AC = 15$ см, $AK = 4$ см, $KD = 8$ см. Найдите площадь четырёхугольника $AMCK$.

1. Найдем длину стороны $AD$ прямоугольника $ABCD$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AD$, длина $AD$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KD$.
$AD = AK + KD = 4 \text{ см} + 8 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором $\angle D = 90^{\circ}$. По теореме Пифагора найдем длину катета $CD$, который также является стороной прямоугольника.
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$15^2 = 12^2 + CD^2$
$225 = 144 + CD^2$
$CD^2 = 225 - 144 = 81$
$CD = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$.
Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, следовательно, $AB = CD = 9 \text{ см}$.

3. Пусть $O$ — середина диагонали $AC$. По условию, прямая, содержащая точки $M$ и $K$, проходит через точку $O$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle COM$.
- $AO = CO$, так как $O$ — середина отрезка $AC$.
- $\angle KAO = \angle MCO$, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
- $\angle AOK = \angle COM$, так как это вертикальные углы.
Следовательно, $\triangle AOK \cong \triangle COM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AK = CM$. По условию $AK = 4 \text{ см}$, значит, $CM = 4 \text{ см}$.

5. В четырёхугольнике $AMCK$ противоположные стороны $AK$ и $CM$ параллельны (так как лежат на параллельных сторонах прямоугольника $AD$ и $BC$) и равны ($AK=CM=4 \text{ см}$). Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Таким образом, $AMCK$ — это параллелограмм.

6. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. В качестве основания параллелограмма $AMCK$ возьмем сторону $AK$. Высотой, проведённой к этому основанию, является перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$, которое равно длине стороны $AB$ (или $CD$) прямоугольника.
Основание $AK = 4 \text{ см}$.
Высота $h = AB = 9 \text{ см}$.
Площадь параллелограмма $AMCK$ составляет:
$S_{AMCK} = AK \cdot h = 4 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.

13.41. Две стороны треугольника равны $15 \text{ см}$ и $25 \text{ см}$, а медиана, проведённая к третьей стороне, – $16 \text{ см}$. Найдите третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся формулой, связывающей длины сторон треугольника и длину медианы, проведённой к одной из этих сторон (следствие из теоремы Аполлония). Если $a$ и $b$ — известные стороны, а $m_c$ — медиана, проведённая к неизвестной стороне $c$, то формула имеет вид:

$c^2 = 2(a^2 + b^2) - 4m_c^2$

Согласно условию задачи, мы имеем следующие значения:
Сторона $a = 15$ см.
Сторона $b = 25$ см.
Медиана $m_c = 16$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения квадрата третьей стороны $c$:

$c^2 = 2(15^2 + 25^2) - 4 \cdot 16^2$

Выполним вычисления:

$c^2 = 2(225 + 625) - 4 \cdot 256$

$c^2 = 2(850) - 1024$

$c^2 = 1700 - 1024$

$c^2 = 676$

Теперь найдём длину стороны $c$, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$c = \sqrt{676} = 26$ см.

Ответ: 26 см.