Страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.4. На одной грани острого двугранного угла отметили точки $A$ и $D$ (рис. 13.12). Из точки $A$ опустили перпендикуляры $AB$ и $AC$ соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Из точки $D$ опустили перпендикуляры $DE$ и $DF$ соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 21$ см, $AC = 12$ см, $DF = 20$ см.

Рис. 13.12

Пусть данный двугранный угол образован плоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по ребру $l$. Точки $A$ и $D$ лежат в одной грани (пусть это будет плоскость $\alpha$).

Рассмотрим точку $A$. По условию, из точки $A$ опущен перпендикуляр $AB$ на ребро $l$ ($B \in l$), и перпендикуляр $AC$ на другую грань (плоскость $\beta$).

Отрезок $AB$ — это наклонная к плоскости $\beta$. Отрезок $AC$ — это перпендикуляр к плоскости $\beta$. Следовательно, отрезок $BC$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\beta$.

Поскольку $AB \perp l$ (по условию), то по теореме о трёх перпендикулярах, её проекция также перпендикулярна прямой $l$, то есть $BC \perp l$.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведёнными в гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $AB \perp l$ и $BC \perp l$, причём $AB$ лежит в грани $\alpha$, а $BC$ — в грани $\beta$. Значит, $\angle ABC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину $\varphi$.

Так как $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, то $AC \perp BC$ (поскольку $BC$ лежит в плоскости $\beta$). Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle ACB = 90^\circ$).В этом треугольнике мы можем найти синус линейного угла:$sin(\varphi) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

Теперь проделаем аналогичные рассуждения для точки $D$. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DE$ на ребро $l$ ($E \in l$) и перпендикуляр $DF$ на плоскость $\beta$. Угол $\angle DEF$ также является линейным углом этого же двугранного угла, поэтому $\angle DEF = \varphi$. Треугольник $\triangle DEF$ — прямоугольный ($\angle DFE = 90^\circ$).В этом треугольнике синус линейного угла равен:$sin(\varphi) = \frac{DF}{DE}$.

Поскольку величина линейного угла одна и та же, мы можем приравнять выражения для его синуса:$\frac{AC}{AB} = \frac{DF}{DE}$

Подставим известные значения и найдём $DE$:$\frac{12}{21} = \frac{20}{DE}$$\frac{4}{7} = \frac{20}{DE}$Отсюда:$DE = \frac{20 \cdot 7}{4} = 5 \cdot 7 = 35$ см.

Ответ: 35 см.

13.5. На одной грани острого двугранного угла отметили точки $A$ и $B$, удалённые от другой его грани на 14 см и 8 см соответственно. Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 42 см. Найдите расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла.

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $l$. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть $AA_1$ — перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\beta$, и $BB_1$ — перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $\beta$. По условию, $AA_1 = 14$ см и $BB_1 = 8$ см.

Расстояние от точки до ребра — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ребро. Пусть $AC$ — перпендикуляр из точки $A$ на ребро $l$, и $BD$ — перпендикуляр из точки $B$ на ребро $l$. По условию, $AC = 42$ см. Нам нужно найти длину $BD$.

Рассмотрим точку $A$. У нас есть перпендикуляр $AA_1$ к плоскости $\beta$ и наклонная $AC$, перпендикулярная прямой $l$, лежащей в плоскости $\beta$. По теореме о трех перпендикулярах, проекция наклонной $A_1C$ также перпендикулярна прямой $l$.

Таким образом, угол $\angle ACA_1$ является линейным углом двугранного угла. Обозначим этот угол через $\phi$. Треугольник $\triangle AA_1C$ является прямоугольным, так как $AA_1 \perp \beta$ и, следовательно, $AA_1 \perp A_1C$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AA_1C$ катет $AA_1 = 14$ см, а гипотенуза $AC = 42$ см. Мы можем найти синус линейного угла $\phi$:

$\sin\phi = \frac{AA_1}{AC} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$

Теперь рассмотрим точку $B$. Аналогично, так как $BD \perp l$, то по теореме о трех перпендикулярах проекция $B_1D$ также перпендикулярна ребру $l$. Следовательно, угол $\angle BDB_1$ является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle BDB_1 = \phi$. Треугольник $\triangle BB_1D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1D$ катет $BB_1 = 8$ см, а гипотенуза — искомое расстояние $BD$. Используя найденное значение синуса угла $\phi$, получаем:

$\sin\phi = \frac{BB_1}{BD}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{3} = \frac{8}{BD}$

Отсюда находим $BD$:

$BD = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

13.6. Точка $B$ лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на $\sqrt{2}$ см и $\sqrt{3}$ см, а от ребра – на 2 см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $α$ и $β$, пересекающимися по прямой $a$ (ребро двугранного угла). Точка $B$ лежит внутри этого угла.

По условию задачи, расстояние от точки $B$ до граней $α$ и $β$ равно $√2$ см и $√3$ см соответственно, а расстояние до ребра $a$ равно $2$ см.

1. Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BA$ к ребру $a$. Тогда точка $A$ лежит на ребре $a$, и длина отрезка $BA$ является расстоянием от точки $B$ до ребра $a$. Таким образом, $BA = 2$ см.

2. Проведем из точки $B$ перпендикуляры $BC$ и $BD$ к плоскостям $α$ и $β$ соответственно. Длины этих перпендикуляров являются расстояниями от точки $B$ до граней. Таким образом, $BC = √2$ см и $BD = √3$ см.

3. Рассмотрим отрезок $BA$ как наклонную к плоскости $α$. $BC$ — перпендикуляр, проведенный из точки $B$ к плоскости $α$. Тогда $AC$ является проекцией наклонной $BA$ на плоскость $α$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $BA$ перпендикулярна прямой $a$ ($BA ⊥ a$), лежащей в плоскости $α$, то и ее проекция $AC$ перпендикулярна этой прямой ($AC ⊥ a$).

4. Аналогично, рассмотрим отрезок $BA$ как наклонную к плоскости $β$. $BD$ — перпендикуляр к плоскости $β$. Тогда $AD$ является проекцией наклонной $BA$ на плоскость $β$. Так как $BA ⊥ a$, то и ее проекция $AD ⊥ a$.

5. Угол между двумя плоскостями измеряется его линейным углом. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, причем оба луча лежат на гранях и перпендикулярны ребру. В нашем случае лучи $AC$ и $AD$ выходят из точки $A$ на ребре $a$, лежат в гранях $α$ и $β$ соответственно и перпендикулярны ребру $a$. Следовательно, искомый двугранный угол равен величине угла $∠CAD$.

6. Величина угла $∠CAD$ равна сумме величин углов $∠BAC$ и $∠BAD$, так как точка $B$ находится внутри двугранного угла.$∠CAD = ∠BAC + ∠BAD$.

7. Рассмотрим треугольник $ΔBAC$. Так как $BC$ — перпендикуляр к плоскости $α$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости, то $BC ⊥ AC$. Следовательно, $ΔBAC$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $BA$. Найдем синус угла $∠BAC$:
$sin(∠BAC) = \frac{BC}{BA} = \frac{√2}{2}$
Отсюда следует, что $∠BAC = 45°$.

8. Рассмотрим треугольник $ΔBAD$. Так как $BD$ — перпендикуляр к плоскости $β$, а прямая $AD$ лежит в этой плоскости, то $BD ⊥ AD$. Следовательно, $ΔBAD$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $BA$. Найдем синус угла $∠BAD$:
$sin(∠BAD) = \frac{BD}{BA} = \frac{√3}{2}$
Отсюда следует, что $∠BAD = 60°$.

9. Теперь найдем искомый двугранный угол:
$∠CAD = ∠BAC + ∠BAD = 45° + 60° = 105°$.

Ответ: 105°.

13.7. Точка C лежит внутри двугранного угла. Угол между перпендикулярами, опущенными из точки C на грани двугранного угла, равен $110^\circ$.

Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $a$. Точка $C$ лежит внутри этого угла.

Из точки $C$ опущены перпендикуляры на грани двугранного угла. Обозначим их $CA$ и $CB$, где точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. По определению перпендикуляра к плоскости, имеем $CA \perp \alpha$ и $CB \perp \beta$. По условию задачи, угол между этими перпендикулярами равен $110^{\circ}$, то есть $\angle ACB = 110^{\circ}$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, проведенными на его гранях перпендикулярно ребру из одной точки на ребре.

Рассмотрим плоскость $\gamma$, определяемую пересекающимися прямыми $CA$ и $CB$.

Поскольку прямая $CA$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($CA \perp \alpha$), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $a$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, $CA \perp a$.

Аналогично, поскольку прямая $CB$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($CB \perp \beta$), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $a$ также лежит и в плоскости $\beta$, следовательно, $CB \perp a$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $CA$ и $CB$ перпендикулярны одной и той же прямой $a$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, в которой лежат прямые $CA$ и $CB$.

Пусть плоскость $\gamma$ пересекает ребро $a$ в точке $O$. Так как плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $a$, то прямые $OA$ и $OB$, лежащие в плоскости $\gamma$ и проходящие через точку $O$ на ребре $a$, перпендикулярны ребру $a$. При этом прямая $OA$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$, а прямая $OB$ - линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$. По определению, угол $\angle AOB$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $OACB$, который целиком лежит в плоскости $\gamma$. Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна $360^{\circ}$. В этом четырехугольнике нам известны следующие углы:$\angle AOB = \phi$ — это искомый линейный угол.$\angle OAC = 90^{\circ}$, так как $CA \perp \alpha$, а прямая $OA$ лежит в плоскости $\alpha$.$\angle OBC = 90^{\circ}$, так как $CB \perp \beta$, а прямая $OB$ лежит в плоскости $\beta$.$\angle ACB = 110^{\circ}$ — по условию задачи.

Запишем уравнение для суммы углов четырехугольника $OACB$:

$\angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle CBO = 360^{\circ}$

Подставим известные значения:

$\phi + 90^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$

$\phi + 290^{\circ} = 360^{\circ}$

$\phi = 360^{\circ} - 290^{\circ}$

$\phi = 70^{\circ}$

Таким образом, величина данного двугранного угла равна $70^{\circ}$.

Ответ: $70^{\circ}$

13.8. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 13.13).

1) Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям $ABC$ и $AB_1C_1$:

а) $\angle A_1AB$; б) $\angle A_1AB_1$; в) $\angle B_1DA$; г) $\angle B_1AB$; д) $\angle B_1DB$.

2) Найдите величину указанного двугранного угла.

Рис. 13.13

1) Двугранный угол образован плоскостями $(ABC)$ и $(AB_1C_1)$. Линия пересечения этих плоскостей — это прямая, по которой они пересекаются. Обе плоскости проходят через точку $A$, значит, точка $A$ лежит на линии их пересечения. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $(AB_1C_1)$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $BCC_1B_1$ — квадрат, поэтому прямые $B_1C_1$ и $BC$ параллельны. Согласно свойству, если одна из двух пересекающихся плоскостей проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой. В нашем случае плоскость $(AB_1C_1)$ проходит через прямую $B_1C_1$, которая параллельна плоскости $(ABC)$ (так как $B_1C_1 \parallel BC$). Однако, это не так, потому что плоскости пересекаются. Корректное рассуждение: Прямая $B_1C_1$ в плоскости $(AB_1C_1)$ параллельна прямой $BC$ в плоскости $(ABC)$. Значит, линия пересечения этих плоскостей, если она существует, должна быть параллельна обеим этим прямым. Так как точка $A$ принадлежит обеим плоскостям, то линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $A$ параллельно $BC$. В квадрате $ABCD$ такой прямой является $AD$. Итак, линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(AB_1C_1)$ — это прямая $AD$.
Линейный угол двугранного угла определяется как угол между двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре двугранного угла, лежащими в его гранях и перпендикулярными ребру. Выберем на ребре $AD$ точку $A$. В плоскости $(ABC)$ проведем перпендикуляр к $AD$ в точке $A$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp AD$. Теперь в плоскости $(AB_1C_1)$ проведем перпендикуляр к $AD$ в точке $A$. Ребро $AD$ перпендикулярно грани $(ABB_1A_1)$, так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$. Следовательно, $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $AB_1$. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $(AB_1C_1)$ по определению. Таким образом, $AB_1 \perp AD$.
Мы построили линейный угол: его стороны — это лучи $AB$ и $AB_1$. Следовательно, искомый линейный угол — это $\angle B_1AB$. Среди предложенных вариантов это вариант г).
Ответ: г) $\angle B_1AB$.

2) Величина двугранного угла равна величине его линейного угла, то есть нам нужно найти величину угла $\angle B_1AB$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABB_1$. Ребро $BB_1$ куба перпендикулярно его основанию $(ABC)$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе и ребру $AB$. Значит, угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$, а треугольник $\triangle ABB_1$ является прямоугольным. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда катеты этого треугольника равны: $AB=a$ и $BB_1=a$. Найдем тангенс угла $\angle B_1AB$: $ \tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{a}{a} = 1 $
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle B_1AB = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

13.9. Отрезок AD – перпендикуляр к плоскости правильного треугольника ABC (рис. 13.14), точка E – середина стороны BC. Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям ABC и BCD:

1) $\angle ABD$;

2) $\angle AED$;

3) $\angle BAD$;

4) $\angle ACD$.

Рис. 13.12

Рис. 13.13

Рис. 13.14

Двугранный угол, о котором идёт речь в задаче, образован плоскостями $(ABC)$ и $(BCD)$. Линией пересечения этих плоскостей (ребром двугранного угла) является прямая $BC$.

Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны ребру. Чтобы найти линейный угол, нужно построить эти два перпендикуляра.

1. Построим перпендикуляр к ребру $BC$ в плоскости $(ABC)$.
По условию, треугольник $ABC$ — правильный. Точка $E$ — середина стороны $BC$. В правильном (равностороннем) треугольнике медиана является также и высотой. Следовательно, медиана $AE$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AE \perp BC$).

2. Построим перпендикуляр к ребру $BC$ в плоскости $(BCD)$, исходящий из той же точки $E$.
По условию, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$. Отрезок $AE$ является проекцией наклонной $DE$ на плоскость $(ABC)$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной ($AE$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и сама наклонная ($DE$) перпендикулярна этой прямой. Так как $AE \perp BC$, следовательно, $DE \perp BC$.

Мы нашли два перпендикуляра к ребру $BC$, проведённые из одной точки $E$: $AE$ в плоскости $(ABC)$ и $DE$ в плоскости $(BCD)$. Угол между ними, $\angle AED$, и является искомым линейным углом двугранного угла.

Теперь проанализируем предложенные варианты:

1) $\angle ABD$: Не является линейным углом. Его сторона $AB$, лежащая в плоскости $(ABC)$, не перпендикулярна ребру $BC$, так как в правильном треугольнике $\angle ABC = 60^\circ$.

2) $\angle AED$: Является линейным углом. Его стороны $AE$ и $DE$ лежат в разных гранях двугранного угла и обе перпендикулярны общему ребру $BC$ в одной точке $E$, что соответствует определению линейного угла.

3) $\angle BAD$: Не является линейным углом двугранного угла с ребром $BC$. Его стороны не являются перпендикулярами к ребру $BC$.

4) $\angle ACD$: Не является линейным углом. Его сторона $AC$, лежащая в плоскости $(ABC)$, не перпендикулярна ребру $BC$, так как в правильном треугольнике $\angle ACB = 60^\circ$.

Ответ: 2) $\angle AED$