Страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.14. Точка $A$ находится на расстоянии $3\sqrt{3}$ см от плоскости $\alpha$. Наклонные $AB$ и $AC$ образуют с плоскостью углы $60^\circ$ и $45^\circ$ соответственно, а угол между наклонными равен $90^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Пусть точка $A$ находится вне плоскости $\alpha$. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки до плоскости, следовательно, $AH = 3\sqrt{3}$ см.

$AB$ и $AC$ — это наклонные, проведенные из точки $A$ к плоскости $\alpha$. Точки $B$ и $C$ являются основаниями этих наклонных и лежат в плоскости $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между самой наклонной и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HB$. Таким образом, угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $\angle ABH = 60^\circ$. Аналогично, проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HC$, и угол между наклонной $AC$ и плоскостью составляет $\angle ACH = 45^\circ$.

Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$. Зная катет $AH$ и противолежащий ему угол $\angle ABH$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$, которая является длиной наклонной.

Из определения синуса: $\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$.

Отсюда $AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. Аналогично найдем длину гипотенузы $AC$.

Из определения синуса: $\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$.

Отсюда $AC = \frac{AH}{\sin(\angle ACH)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6}$ см.

В условии задачи сказано, что угол между наклонными $AB$ и $AC$ равен $90^\circ$. Это означает, что $\angle BAC = 90^\circ$, и, следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным.

Требуется найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину отрезка $BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $BC$ является гипотенузой, а $AB$ и $AC$ — катетами. Применим теорему Пифагора:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Подставляем найденные ранее значения длин наклонных:

$BC^2 = 6^2 + (3\sqrt{6})^2 = 36 + (9 \cdot 6) = 36 + 54 = 90$.

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину $BC$:

$BC = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.

12.15. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MA$ и $MB$. Наклонная $MA$ образует с плоскостью $\alpha$ угол $45^\circ$, а наклонная $MB$—угол $30^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если $MA = 6$ см, а угол между наклонными равен $45^\circ$.

Пусть $M$ — данная точка, не лежащая в плоскости $\alpha$. $MA$ и $MB$ — наклонные к плоскости $\alpha$, где $A$ и $B$ — основания наклонных. Опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра. Отрезки $HA$ и $HB$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. По условию, угол между наклонной $MA$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$, следовательно, $\angle MAH = 45^\circ$. Угол между наклонной $MB$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$, следовательно, $\angle MBH = 30^\circ$.

Так как $MH \perp \alpha$, то $MH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, $\triangle MHA$ и $\triangle MHB$ — прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершине $H$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$. Известно, что гипотенуза $MA = 6$ см и $\angle MAH = 45^\circ$. Найдем длину катетов $MH$ (высота от точки $M$ до плоскости) и $HA$ (проекция наклонной $MA$).

$MH = MA \cdot \sin(\angle MAH) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

$HA = MA \cdot \cos(\angle MAH) = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$. Нам известен катет $MH = 3\sqrt{2}$ см и угол $\angle MBH = 30^\circ$. Найдем длину гипотенузы $MB$ (вторая наклонная).

$MB = \frac{MH}{\sin(\angle MBH)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. В нем известны длины двух сторон: $MA = 6$ см и $MB = 6\sqrt{2}$ см. Также по условию известен угол между этими сторонами: $\angle AMB = 45^\circ$. Расстояние между основаниями наклонных — это длина стороны $AB$ в этом треугольнике. Найдем $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$AB^2 = 36 + (36 \cdot 2) - 72\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 36 + 72 - \frac{72 \cdot 2}{2}$

$AB^2 = 108 - 72$

$AB^2 = 36$

$AB = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

12.16. Точка $M$ находится на расстоянии 12 см от каждой вершины квадрата $ABCD$, угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата равен $60^{\circ}$.

Найдите расстояние от точки $M$ до стороны квадрата.

12.16.

Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость квадрата $ABCD$. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата ($MA = MB = MC = MD = 12$ см), то $O$ является центром квадрата (точкой пересечения его диагоналей).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOA$, где $MO$ — высота, опущенная из $M$ на плоскость квадрата, и $OA$ — половина диагонали квадрата. Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата — это угол $\angle MAO$, который равен $60^\circ$.

Используем тригонометрические соотношения в $\triangle MOA$. Высота $MO = MA \sin(\angle MAO) = 12 \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Половина диагонали $OA = MA \cos(\angle MAO) = 12 \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Теперь найдем сторону квадрата $a$. Диагональ квадрата $AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 6 = 12$ см. Для квадрата со стороной $a$ диагональ равна $a\sqrt{2}$.

$a\sqrt{2} = 12 \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Пусть $K$ — середина одной из сторон квадрата, например, стороны $AB$. Расстояние от центра квадрата $O$ до стороны $AB$ равно $OK = \frac{a}{2}$.

$OK = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны квадрата $AB$ — это длина отрезка $MK$. Поскольку $MO$ перпендикулярно плоскости квадрата, и $OK$ перпендикулярно $AB$ (как радиус вписанной окружности к касательной), то по теореме о трех перпендикулярах $MK$ также перпендикулярно $AB$. Таким образом, $\triangle MOK$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

Применяем теорему Пифагора в $\triangle MOK$: $MK^2 = MO^2 + OK^2$.

$MK^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 3) + (9 \cdot 2) = 108 + 18 = 126$.

$MK = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см.

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.

12.17. Точка M равноудалена от сторон квадрата ABCD, сторона которого равна $9\sqrt{6}$ см, и находится на расстоянии 9 см от плоскости квадрата. Найдите угол между прямой MA и плоскостью квадрата.

Пусть $O$ - проекция точки $M$ на плоскость квадрата $ABCD$. Так как точка $M$ равноудалена от всех сторон квадрата, то ее проекция $O$ является центром квадрата (точкой пересечения диагоналей). Расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата - это длина перпендикуляра $MO$. По условию, $MO = 9$ см.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата $ABCD$ - это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость, то есть угол $\angle MAO$.

Найдем длину проекции $OA$. $OA$ - это половина диагонали квадрата $AC$. Сторона квадрата $a = 9\sqrt{6}$ см.Диагональ квадрата $AC$ вычисляется по формуле $AC = a\sqrt{2}$.
$AC = 9\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{12} = 9\sqrt{4 \cdot 3} = 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.
Тогда $OA = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$, так как $MO$ - перпендикуляр к плоскости). В этом треугольнике нам известны два катета:
- катет $MO = 9$ см (противолежащий углу $\angle MAO$);
- катет $OA = 9\sqrt{3}$ см (прилежащий к углу $\angle MAO$).
Найдем тангенс угла $\angle MAO$:
$\tan(\angle MAO) = \frac{MO}{OA} = \frac{9}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle MAO = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

12.18. Дана точка $D$, такая, что прямые $DA$, $DB$ и $DC$ образуют с плоскостью правильного треугольника $ABC$ углы по $45^\circ$. Найдите расстояние от точки $D$ до вершин и до прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$, если его сторона равна 6 см.

Пусть $O$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $DO$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $(ABC)$ равно длине отрезка $DO$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. По условию, прямые $DA$, $DB$ и $DC$ образуют с плоскостью $(ABC)$ углы по 45°. Это означает, что углы между этими прямыми и их проекциями $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно, равны 45°.

Таким образом, $\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DOA$, $\triangle DOB$ и $\triangle DOC$ (прямые углы при вершине $O$, так как $DO \perp (ABC)$). В этих треугольниках катет $DO$ — общий, а углы $\angle DAO$, $\angle DBO$, $\angle DCO$ равны. Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз $DA = DB = DC$ и катетов $OA = OB = OC$.

Равенство $OA = OB = OC$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ — правильный, точка $O$ является его центром.

Сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a = 6$ см.

Расстояние от точки $D$ до вершин — это длины отрезков $DA$, $DB$ и $DC$. Мы уже установили, что они равны. Найдём длину $DA$.

Радиус $R$ описанной около правильного треугольника окружности со стороной $a$ вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

В нашем случае $OA = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$. Так как $\angle DAO = 45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным, и $DO = OA = 2\sqrt{3}$ см.

Длину гипотенузы $DA$ можно найти по теореме Пифагора или через тригонометрические функции.

Используя косинус: $\cos(\angle DAO) = \frac{OA}{DA}$.

$DA = \frac{OA}{\cos(45^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Следовательно, расстояние от точки $D$ до каждой из вершин $A$, $B$ и $C$ равно $2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

Расстояние от точки $D$ до прямой, содержащей сторону треугольника (например, $AB$), — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на эту прямую.

Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Так как треугольник $ABC$ правильный, то медиана $CK$ является и высотой, то есть $CK \perp AB$. Точка $O$ (центр треугольника) лежит на $CK$. Отрезок $OK$ является радиусом вписанной в треугольник окружности и перпендикулярен стороне $AB$. Таким образом, $OK \perp AB$.

Радиус $r$ вписанной в правильный треугольник окружности со стороной $a$ вычисляется по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$OK = r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим отрезок $DK$. Так как $DO \perp (ABC)$, то $DO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AB$. $OK \perp AB$ по построению. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DO$ и $OK$ в плоскости $(DOK)$, следовательно, $AB \perp (DOK)$. Это означает, что $AB \perp DK$.

Таким образом, длина отрезка $DK$ и есть искомое расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Найдём $DK$ из прямоугольного треугольника $\triangle DOK$ (угол $\angle DOK = 90^\circ$) по теореме Пифагора:$DK^2 = DO^2 + OK^2$.

Мы уже нашли, что $DO = 2\sqrt{3}$ см и $OK = \sqrt{3}$ см.

$DK^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$.

$DK = \sqrt{15}$ см.

В силу симметрии, расстояния от точки $D$ до прямых $BC$ и $AC$ будут такими же.

Ответ: $\sqrt{15}$ см.

12.19. Точка P, равноудалённая от прямых, содержащих стороны прямоугольного треугольника ABC ($\angle ACB = 90^\circ$), находится на расстоянии $4\sqrt{2}$ см от его плоскости. Проекция точки P на плоскость треугольника ABC принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой PC и плоскостью ABC, если $AC = 12$ см, $BC = 16$ см.

Пусть $O$ — проекция точки $P$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $PO$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $P$ до этой плоскости, то есть $PO = 4\sqrt{2}$ см.

По условию, точка $P$ равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$. Это означает, что ее проекция, точка $O$, равноудалена от этих же прямых. Точка внутри треугольника, равноудаленная от его сторон, является центром вписанной окружности (инцентром). Расстояние от инцентра до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$.

Угол между прямой $PC$ и плоскостью $ABC$ — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией прямой $PC$ на плоскость $ABC$ является прямая $OC$. Следовательно, искомый угол — это $\angle PCO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с катетами $AC = 12$ см и $BC = 16$ см. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности по формуле:$r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
$r = \frac{AC+BC-AB}{2} = \frac{12+16-20}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Для нахождения длины отрезка $OC$ введем систему координат. Поместим вершину прямого угла $C$ в начало координат $(0,0)$. Тогда катет $AC$ будет лежать на оси Ox, а катет $BC$ — на оси Oy. Координаты вершин будут: $C(0,0)$, $A(12,0)$ и $B(0,16)$.

Координаты инцентра $O$ для прямоугольного треугольника, расположенного таким образом, равны $(r, r)$. Таким образом, точка $O$ имеет координаты $(4,4)$.

Найдем расстояние $OC$ как расстояние от начала координат до точки $O(4,4)$:
$OC = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle POC$ (угол $\angle POC = 90^\circ$, так как $PO$ перпендикулярен плоскости $ABC$). Мы знаем длины его катетов:$PO = 4\sqrt{2}$ см (по условию).$OC = 4\sqrt{2}$ см (как мы нашли).

Найдем тангенс искомого угла $\angle PCO$:
$\tan(\angle PCO) = \frac{PO}{OC} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1$.

Если тангенс угла равен 1, то сам угол равен $45^\circ$.
$\angle PCO = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

12.20. Отрезок $PB$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$.

Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $AB = BC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $PA = 16$ см, а угол между прямой $PA$ и плоскостью $ABC$ равен $30^\circ$.

Поскольку отрезок $PB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то $PB \perp (ABC)$. Проекцией наклонной $PA$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $AB$. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Следовательно, угол между прямой $PA$ и плоскостью $(ABC)$ равен $\angle PAB$, и по условию $\angle PAB = 30^\circ$.

Рассмотрим $\triangle PBA$. Так как $PB \perp (ABC)$, то $PB \perp AB$, и $\triangle PBA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle PBA$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $PA = 16$ см и острый угол $\angle PAB = 30^\circ$. Найдем катеты $PB$ и $AB$:
$PB = PA \cdot \sin(\angle PAB) = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
$AB = PA \cdot \cos(\angle PAB) = 16 \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

Расстояние от точки $P$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $P$ к прямой $AC$. Обозначим этот перпендикуляр $PH$, где $H$ — точка на прямой $AC$. Таким образом, $PH \perp AC$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($PH$) перпендикулярна прямой ($AC$), лежащей в плоскости, то и проекция этой наклонной на плоскость ($BH$) также перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BH \perp AC$.

В $\triangle ABC$ отрезок $BH$ является высотой. По условию, $\triangle ABC$ — равнобедренный, где $AB = BC$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании $AC$ равны:
$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABH$ (поскольку $BH \perp AC$, то $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $AB = 8\sqrt{3}$ см и $\angle BAH = 30^\circ$. Найдем длину катета $BH$:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = 8\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим $\triangle PBH$. Так как $PB \perp (ABC)$, то $PB \perp BH$, и $\triangle PBH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle PBH$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $PH$:
$PH^2 = PB^2 + BH^2$
$PH^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 = 64 + 16 \cdot 3 = 64 + 48 = 112$
$PH = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.

12.21. Дан треугольник $ABC$, такой, что $AC = BC$, $\angle ACB = 90^\circ$, $AB = 10$ см. Отрезок $MC$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно $5\sqrt{3}$ см. Найдите угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle ACB = 90^\circ$) и равнобедренным ($AC = BC$) с гипотенузой $AB = 10$ см, мы можем найти длины катетов по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Так как $AC = BC$, получаем $2AC^2 = 10^2$, что дает $2AC^2 = 100$, откуда $AC^2 = 50$ и $AC = BC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра $MH$, опущенного из точки $M$ на прямую $AB$. По условию, $MH = 5\sqrt{3}$ см.

Так как $MC \perp (ABC)$, а $MH$ — наклонная к этой плоскости, то $CH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AB$ в плоскости, то и ее проекция $CH$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $CH \perp AB$, и $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к гипотенузе.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой, поэтому ее длина равна половине длины гипотенузы: $CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCH$ (угол $\angle MCH = 90^\circ$, так как $MC \perp (ABC)$ и $CH$ лежит в этой плоскости). По теореме Пифагора: $MC^2 + CH^2 = MH^2$. Подставим известные значения: $MC^2 + 5^2 = (5\sqrt{3})^2$, что дает $MC^2 + 25 = 75$. Отсюда $MC^2 = 50$ и $MC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$ — это угол между прямой $AM$ и ее проекцией на эту плоскость. Поскольку $MC \perp (ABC)$, проекцией наклонной $AM$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AC$. Следовательно, искомый угол — это $\angle MAC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MAC$ (угол $\angle MCA = 90^\circ$, так как $MC \perp (ABC)$ и $AC$ лежит в этой плоскости). Мы нашли, что катеты этого треугольника равны: $AC = 5\sqrt{2}$ см и $MC = 5\sqrt{2}$ см. Так как катеты равны, треугольник $MAC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его острые углы равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle MAC = 45^\circ$.

Также можно найти тангенс этого угла: $\tan(\angle MAC) = \frac{MC}{AC} = \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 1$. Следовательно, $\angle MAC = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

12.22. Отрезок $DA$ – перпендикуляр к плоскости правильного треугольника $ABC$, $AD = AB$, точка $E$ – середина стороны $BC$. Найдите угол между:

1) прямой $AB$ и плоскостью $ADE$;

2) прямой $AC$ и плоскостью $ABD$.

По условию, $ABC$ — правильный (равносторонний) треугольник. Отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, что означает $DA \perp (ABC)$. Также дано, что $AD = AB$. Пусть сторона треугольника $ABC$ равна $a$, тогда $AB = BC = AC = a$ и $AD = a$. Точка $E$ — середина стороны $BC$.

Из того, что $DA \perp (ABC)$, следует, что $DA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DA \perp AB$ и $DA \perp AC$.

1) прямой AB и плоскостью ADE;

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдем проекцию прямой $AB$ на плоскость $(ADE)$. Прямая $AB$ пересекает плоскость $(ADE)$ в точке $A$, значит, точка $A$ является проекцией самой себя. Чтобы найти проекцию прямой $AB$, нужно найти проекцию точки $B$ на плоскость $(ADE)$, то есть опустить перпендикуляр из точки $B$ на эту плоскость.

Рассмотрим прямую $BC$. 1. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AE$ является также и высотой, следовательно, $AE \perp BC$. 2. Так как $DA \perp (ABC)$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $DA \perp BC$.

Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AE$ и $DA$ в плоскости $(ADE)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADE)$, то есть $BC \perp (ADE)$.

Поскольку $BC \perp (ADE)$, отрезок $BE$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на плоскость $(ADE)$, так как точка $E$ лежит в этой плоскости. Таким образом, точка $E$ — это проекция точки $B$ на плоскость $(ADE)$.

Следовательно, прямая $AE$ является проекцией прямой $AB$ на плоскость $(ADE)$. Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $AE$, то есть $\angle BAE$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AE$ является также и биссектрисой угла $\angle BAC$. Так как все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, то $\angle BAC = 60^\circ$.

$\angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

2) прямой AC и плоскостью ABD.

Аналогично первому пункту, найдем угол между прямой $AC$ и её проекцией на плоскость $(ABD)$.

Прямая $AC$ пересекает плоскость $(ABD)$ в точке $A$. Найдем проекцию точки $C$ на плоскость $(ABD)$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $C$ на эту плоскость.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CM$ к стороне $AB$. Так как $\Delta ABC$ — равносторонний, высота $CM$ является и медианой, поэтому точка $M$ — середина $AB$.

1. По построению, $CM \perp AB$. 2. Так как $DA \perp (ABC)$, а прямая $CM$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $DA \perp CM$.

Прямая $CM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $DA$ в плоскости $(ABD)$. Следовательно, прямая $CM$ перпендикулярна плоскости $(ABD)$, то есть $CM \perp (ABD)$.

Это означает, что точка $M$ — проекция точки $C$ на плоскость $(ABD)$.

Тогда прямая $AM$ является проекцией прямой $AC$ на плоскость $(ABD)$. Искомый угол — это угол между прямой $AC$ и её проекцией $AM$, то есть $\angle CAM$.

Точки $C$, $A$, $M$ лежат в плоскости треугольника $ABC$, причем $M$ лежит на отрезке $AB$. Таким образом, угол $\angle CAM$ — это угол $\angle CAB$ треугольника $ABC$.

Поскольку $\Delta ABC$ — равносторонний, $\angle CAB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

12.23. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости данного квадрата $ABCD$, причём $MB = AB$. Найдите угол между:

1) прямой $AB$ и плоскостью $BMD$;

2) прямой $AM$ и плоскостью $BMD$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. По условию, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости квадрата, и его длина равна стороне квадрата, то есть $MB = AB = a$.

1) прямой AB и плоскостью BMD;

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию прямой $AB$ на плоскость $BMD$.
Проведём диагонали квадрата $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. В квадрате диагонали перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$.
Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе $MB \perp AC$.
Прямая $AC$ (а значит и её часть $AO$) перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $MB$ в плоскости $BMD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $AO \perp (BMD)$.
Это означает, что $AO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $BMD$.
Тогда проекцией наклонной $AB$ на плоскость $BMD$ является прямая $BO$.
Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $BO$, то есть угол $\angle ABO$.
В квадрате $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Так как $\angle ABC = 90^\circ$, то $\angle ABO = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2) прямой AM и плоскостью BMD.

Искомый угол — это угол между прямой $AM$ и её проекцией на плоскость $BMD$.
Как мы установили в пункте 1, перпендикуляром из точки $A$ на плоскость $BMD$ является отрезок $AO$. Точка $M$ лежит в плоскости $BMD$. Следовательно, проекцией прямой $AM$ на плоскость $BMD$ является прямая $OM$.
Таким образом, искомый угол — это $\angle AMO$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMO$ (угол $\angle AOM = 90^\circ$, так как $AO \perp (BMD)$ и $OM$ лежит в этой плоскости).
Найдём длины сторон этого треугольника.
1. В квадрате $ABCD$ со стороной $a$ диагональ $AC = a\sqrt{2}$. Точка $O$ — середина диагонали, поэтому $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBA$ (угол $\angle MBA = 90^\circ$, так как $MB \perp (ABCD)$). По теореме Пифагора:
$AM^2 = MB^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $AM = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
3. В прямоугольном треугольнике $\triangle AMO$ найдём синус угла $\angle AMO$:
$\sin(\angle AMO) = \frac{AO}{AM} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.
Следовательно, $\angle AMO = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.