Номер 14, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14, страница 116.

Условие.

12.14. Точка $A$ находится на расстоянии $3\sqrt{3}$ см от плоскости $\alpha$. Наклонные $AB$ и $AC$ образуют с плоскостью углы $60^\circ$ и $45^\circ$ соответственно, а угол между наклонными равен $90^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть точка $A$ находится вне плоскости $\alpha$. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки до плоскости, следовательно, $AH = 3\sqrt{3}$ см.

$AB$ и $AC$ — это наклонные, проведенные из точки $A$ к плоскости $\alpha$. Точки $B$ и $C$ являются основаниями этих наклонных и лежат в плоскости $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между самой наклонной и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HB$. Таким образом, угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $\angle ABH = 60^\circ$. Аналогично, проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HC$, и угол между наклонной $AC$ и плоскостью составляет $\angle ACH = 45^\circ$.

Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$. Зная катет $AH$ и противолежащий ему угол $\angle ABH$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$, которая является длиной наклонной.

Из определения синуса: $\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$.

Отсюда $AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. Аналогично найдем длину гипотенузы $AC$.

Из определения синуса: $\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$.

Отсюда $AC = \frac{AH}{\sin(\angle ACH)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6}$ см.

В условии задачи сказано, что угол между наклонными $AB$ и $AC$ равен $90^\circ$. Это означает, что $\angle BAC = 90^\circ$, и, следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным.

Требуется найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину отрезка $BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $BC$ является гипотенузой, а $AB$ и $AC$ — катетами. Применим теорему Пифагора:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Подставляем найденные ранее значения длин наклонных:

$BC^2 = 6^2 + (3\sqrt{6})^2 = 36 + (9 \cdot 6) = 36 + 54 = 90$.

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину $BC$:

$BC = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.