Номер 9, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 9, страница 115.

Условие.

12.9. Докажите, что если углы, образованные с плоскостью наклонными, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклонные равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не лежащая в этой плоскости. Проведём из точки $A$ две наклонные $AB$ и $AC$ к плоскости $\alpha$ (точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$).

Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

По определению, угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Таким образом, угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это $\angle ABH$, а угол между наклонной $AC$ и плоскостью $\alpha$ — это $\angle ACH$.

По условию задачи, эти углы равны: $\angle ABH = \angle ACH$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника. У них общий катет $AH$. Кроме того, по условию задачи, острый угол $\angle ABH$ в треугольнике $\triangle AHB$ равен острому углу $\angle ACH$ в треугольнике $\triangle AHC$. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ равны по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Наклонные $AB$ и $AC$ являются гипотенузами в этих треугольниках. Следовательно, $AB = AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство наклонных следует из равенства прямоугольных треугольников, образованных этими наклонными, их проекциями и перпендикуляром, опущенным из той же точки на плоскость.