Номер 10, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10, страница 115.

Условие.

12.10. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ провели перпендикуляр $MB$ и наклонные $MA$ и $MC$. Найдите угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$, если $MA = 5\sqrt{2}$ см, $MC = 10$ см, а угол между прямой $MA$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку $MB$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к плоскости $\alpha$, а $MA$ и $MC$ — наклонные, то отрезки $AB$ и $BC$ являются проекциями этих наклонных на плоскость $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость. Таким образом, угол между прямой $MA$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle MAB$, а искомый угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle MCB$.

Из условия задачи известно, что угол между прямой $MA$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$, то есть $\angle MAB = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBA$. Так как $MB \perp \alpha$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $B$, следовательно, $\angle MBA = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $MA = 5\sqrt{2}$ см и прилежащий к катету $AB$ угол $\angle MAB = 45^\circ$. Найдем длину перпендикуляра $MB$, который является катетом, противолежащим этому углу.

Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, имеем:
$\sin(\angle MAB) = \frac{MB}{MA}$
Отсюда выразим и найдем длину $MB$:
$MB = MA \cdot \sin(\angle MAB) = 5\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)$
Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$MB = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBC$ (угол $\angle MBC = 90^\circ$ по той же причине, что и $\angle MBA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны длина гипотенузы $MC = 10$ см и длина катета $MB = 5$ см. Нам нужно найти угол $\angle MCB$.

Снова воспользуемся определением синуса для угла $\angle MCB$:
$\sin(\angle MCB) = \frac{MB}{MC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Острый угол в прямоугольном треугольнике, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, $\angle MCB = 30^\circ$.

Таким образом, угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.