Номер 13, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13, страница 115.

Условие.

12.13. Из точки $B$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $BA$ и $BC$, образующие с данной плоскостью углы, равные $45^\circ$. Расстояние между основаниями наклонных равно $16$ см. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если угол между наклонными равен $60^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть BH — перпендикуляр, опущенный из точки B на плоскость α. Длина этого перпендикуляра, $h = BH$, и является искомым расстоянием от точки B до плоскости α. Точки A и C являются основаниями наклонных BA и BC на плоскости α.

Отрезки AH и CH являются проекциями наклонных BA и BC на плоскость α. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. По условию задачи, $\angle BAH = 45^\circ$ и $\angle BCH = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник BHA. Он является прямоугольным, так как $BH \perp \alpha$, а значит $BH \perp AH$. Поскольку один из острых углов ($\angle BAH$) равен $45^\circ$, то и второй острый угол $\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник BHA является равнобедренным, и $AH = BH = h$. По теореме Пифагора (или из определения синуса), найдем длину наклонной BA: $BA = \frac{BH}{\sin(45^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{2}/2} = h\sqrt{2}$.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Он также является равнобедренным, так как $\angle BCH = 45^\circ$. Поэтому $CH = BH = h$, и длина наклонной $BC = h\sqrt{2}$.

Таким образом, мы имеем две наклонные одинаковой длины: $BA = BC = h\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник ABC, образованный двумя наклонными и отрезком, соединяющим их основания. По условию, угол между наклонными $\angle ABC = 60^\circ$. Поскольку в треугольнике ABC две стороны равны ($BA = BC$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике с углом $60^\circ$ при вершине, углы при основании также равны $60^\circ$: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ$. Следовательно, треугольник ABC является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны: $BA = BC = AC$.

Из условия задачи известно, что расстояние между основаниями наклонных равно 16 см, то есть $AC = 16$ см. Так как $BA = AC$, получаем $BA = 16$ см.

Используя ранее найденное соотношение $BA = h\sqrt{2}$, мы можем найти $h$: $16 = h\sqrt{2}$ $h = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$

Итак, расстояние от точки B до плоскости α составляет $8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.