Номер 12, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 12, страница 115.

Условие.

12.12. Из точки $D$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $DA$ и $DB$, образующие с данной плоскостью углы, равные $30^\circ$. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость $\alpha$ равен $120^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если $DA = 2 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $C$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $DC \perp \alpha$.

$CA$ и $CB$ - это проекции наклонных $DA$ и $DB$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Точки $A$ и $B$ - основания наклонных.

Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. По условию, $\angle DAC = 30^\circ$ и $\angle DBC = 30^\circ$.

Угол между проекциями наклонных равен $120^\circ$, то есть $\angle ACB = 120^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DCA$ (поскольку $DC \perp \alpha$, то $DC$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $C$, следовательно $\angle DCA = 90^\circ$).

В этом треугольнике нам известна гипотенуза $DA = 2$ см и острый угол $\angle DAC = 30^\circ$. Найдем длину проекции $CA$:

$CA = DA \cdot \cos(\angle DAC) = 2 \cdot \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DCB$ ($\angle DCB = 90^\circ$). Поскольку наклонные $DA$ и $DB$ образуют с плоскостью $\alpha$ равные углы, а перпендикуляр $DC$ у них общий, то эти треугольники равны (по катету и противолежащему углу, если найти $DC$, или по катету и прилежащему острому углу, если сначала доказать равенство гипотенуз). Из равенства углов $\angle DAC = \angle DBC = 30^\circ$ и общего катета $DC$ следует, что $\triangle DCA = \triangle DCB$. Следовательно, их гипотенузы равны ($DA=DB$) и другие катеты тоже равны ($CA=CB$).

Итак, $CA = CB = \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACB$, который лежит в плоскости $\alpha$. Нам нужно найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину стороны $AB$. В треугольнике $\triangle ACB$ известны две стороны $CA = \sqrt{3}$ см, $CB = \sqrt{3}$ см и угол между ними $\angle ACB = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle ACB$:

$AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим известные значения:

$AB^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = - \frac{1}{2}$.

$AB^2 = 3 + 3 - 2 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AB^2 = 6 - 6 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AB^2 = 6 + 3 = 9$

$AB = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.