Номер 19, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 19, страница 116.

Условие.

12.19. Точка P, равноудалённая от прямых, содержащих стороны прямоугольного треугольника ABC ($\angle ACB = 90^\circ$), находится на расстоянии $4\sqrt{2}$ см от его плоскости. Проекция точки P на плоскость треугольника ABC принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой PC и плоскостью ABC, если $AC = 12$ см, $BC = 16$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — проекция точки $P$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $PO$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $P$ до этой плоскости, то есть $PO = 4\sqrt{2}$ см.

По условию, точка $P$ равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$. Это означает, что ее проекция, точка $O$, равноудалена от этих же прямых. Точка внутри треугольника, равноудаленная от его сторон, является центром вписанной окружности (инцентром). Расстояние от инцентра до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$.

Угол между прямой $PC$ и плоскостью $ABC$ — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией прямой $PC$ на плоскость $ABC$ является прямая $OC$. Следовательно, искомый угол — это $\angle PCO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с катетами $AC = 12$ см и $BC = 16$ см. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности по формуле:$r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
$r = \frac{AC+BC-AB}{2} = \frac{12+16-20}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Для нахождения длины отрезка $OC$ введем систему координат. Поместим вершину прямого угла $C$ в начало координат $(0,0)$. Тогда катет $AC$ будет лежать на оси Ox, а катет $BC$ — на оси Oy. Координаты вершин будут: $C(0,0)$, $A(12,0)$ и $B(0,16)$.

Координаты инцентра $O$ для прямоугольного треугольника, расположенного таким образом, равны $(r, r)$. Таким образом, точка $O$ имеет координаты $(4,4)$.

Найдем расстояние $OC$ как расстояние от начала координат до точки $O(4,4)$:
$OC = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle POC$ (угол $\angle POC = 90^\circ$, так как $PO$ перпендикулярен плоскости $ABC$). Мы знаем длины его катетов:$PO = 4\sqrt{2}$ см (по условию).$OC = 4\sqrt{2}$ см (как мы нашли).

Найдем тангенс искомого угла $\angle PCO$:
$\tan(\angle PCO) = \frac{PO}{OC} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1$.

Если тангенс угла равен 1, то сам угол равен $45^\circ$.
$\angle PCO = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.