Номер 20, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 20, страница 116.

Условие.

12.20. Отрезок $PB$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$.

Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $AB = BC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $PA = 16$ см, а угол между прямой $PA$ и плоскостью $ABC$ равен $30^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку отрезок $PB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то $PB \perp (ABC)$. Проекцией наклонной $PA$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $AB$. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Следовательно, угол между прямой $PA$ и плоскостью $(ABC)$ равен $\angle PAB$, и по условию $\angle PAB = 30^\circ$.

Рассмотрим $\triangle PBA$. Так как $PB \perp (ABC)$, то $PB \perp AB$, и $\triangle PBA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle PBA$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $PA = 16$ см и острый угол $\angle PAB = 30^\circ$. Найдем катеты $PB$ и $AB$:
$PB = PA \cdot \sin(\angle PAB) = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
$AB = PA \cdot \cos(\angle PAB) = 16 \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

Расстояние от точки $P$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $P$ к прямой $AC$. Обозначим этот перпендикуляр $PH$, где $H$ — точка на прямой $AC$. Таким образом, $PH \perp AC$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($PH$) перпендикулярна прямой ($AC$), лежащей в плоскости, то и проекция этой наклонной на плоскость ($BH$) также перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BH \perp AC$.

В $\triangle ABC$ отрезок $BH$ является высотой. По условию, $\triangle ABC$ — равнобедренный, где $AB = BC$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании $AC$ равны:
$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABH$ (поскольку $BH \perp AC$, то $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $AB = 8\sqrt{3}$ см и $\angle BAH = 30^\circ$. Найдем длину катета $BH$:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = 8\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим $\triangle PBH$. Так как $PB \perp (ABC)$, то $PB \perp BH$, и $\triangle PBH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle PBH$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $PH$:
$PH^2 = PB^2 + BH^2$
$PH^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 = 64 + 16 \cdot 3 = 64 + 48 = 112$
$PH = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.