Номер 27, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 27, страница 117.

Условие.

12.27. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а его сторона $AB$ образует с этой плоскостью угол $45^\circ$. Найдите угол между стороной $AC$ и проекцией стороны $AB$ на плоскость $\alpha$, если $\angle BAC = 60^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $A, B, C$ – вершины треугольника. Плоскость обозначим $\alpha$.

По условию, сторона $AC$ лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что точки $A$ и $C$ находятся в плоскости $\alpha$.

Проекцией стороны $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AB'$, где $B'$ – ортогональная проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Так как $A$ лежит в плоскости $\alpha$, то проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$ совпадает с самой точкой $A$.

Угол между стороной $AB$ и плоскостью $\alpha$ по определению – это угол между отрезком $AB$ и его проекцией $AB'$. Таким образом, $\angle BAB' = 45^\circ$.

Так как $B'$ – ортогональная проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$, то отрезок $BB'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Следовательно, треугольник $ABB'$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B'$ ($ \angle AB'B = 90^\circ $).

В прямоугольном треугольнике $ABB'$ мы можем выразить длину проекции $AB'$ через длину $AB$ и угол $\angle BAB'$:

$AB' = AB \cos(\angle BAB')$

$AB' = AB \cos(45^\circ)$

$AB' = AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для дальнейших расчетов удобно ввести систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку сторона $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, и мы можем выбрать эту плоскость как координатную плоскость $xy$, то расположим $AC$ вдоль оси $x$.

Тогда координаты точки $A$ будут $(0,0,0)$, а координаты точки $C$ будут $(AC, 0, 0)$.

Пусть координаты точки $B$ будут $(x_B, y_B, z_B)$. Тогда координаты ее проекции $B'$ на плоскость $xy$ (плоскость $\alpha$) будут $(x_B, y_B, 0)$.

Угол $\angle BAC = 60^\circ$ – это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Вектор $\vec{AB} = (x_B, y_B, z_B)$. Вектор $\vec{AC} = (AC, 0, 0)$.

Косинус угла между двумя векторами определяется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_B \cdot AC + y_B \cdot 0 + z_B \cdot 0 = x_B \cdot AC$

$|\vec{AB}| = \sqrt{x_B^2 + y_B^2 + z_B^2} = AB$

$|\vec{AC}| = AC$

Таким образом, $\cos(60^\circ) = \frac{x_B \cdot AC}{AB \cdot AC} = \frac{x_B}{AB}$

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то $x_B = AB \cdot \frac{1}{2}$.

Теперь нам нужно найти угол $\phi$ между стороной $AC$ и проекцией стороны $AB'$ на плоскость $\alpha$. Этот угол – это $\angle B'AC$. Это угол между векторами $\vec{AB'}$ и $\vec{AC}$.

Вектор $\vec{AB'} = (x_B, y_B, 0)$. Вектор $\vec{AC} = (AC, 0, 0)$.

Косинус угла $\phi$:

$\cos \phi = \frac{\vec{AB'} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB'}| |\vec{AC}|}$

$\vec{AB'} \cdot \vec{AC} = x_B \cdot AC + y_B \cdot 0 + 0 \cdot 0 = x_B \cdot AC$

$|\vec{AB'}| = AB'$

$|\vec{AC}| = AC$

Таким образом, $\cos \phi = \frac{x_B \cdot AC}{AB' \cdot AC} = \frac{x_B}{AB'}$.

Подставим ранее найденные выражения для $x_B$ и $AB'$:

$x_B = AB \cdot \frac{1}{2}$

$AB' = AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \phi = \frac{AB \cdot \frac{1}{2}}{AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как $\cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то угол $\phi = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$