Номер 32, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 32, страница 117.

Условие.

12.32. Через вершину угла, равного $60^\circ$, проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол $60^\circ$. Найдите косинус угла, который образует эта прямая с плоскостью данного угла.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами, представленными лучами $OA$ и $OB$. Угол между сторонами $\angle AOB = 60^\circ$. Через вершину $O$ проведена прямая $OC$, которая образует с каждой из сторон угол $60^\circ$, то есть $\angle AOC = \angle BOC = 60^\circ$. Нам нужно найти косинус угла $\alpha$ между прямой $OC$ и плоскостью, в которой лежит угол $AOB$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем единичные векторы, направленные вдоль лучей:

• $\vec{a}$ — единичный вектор вдоль $OA$.
• $\vec{b}$ — единичный вектор вдоль $OB$.
• $\vec{c}$ — единичный вектор вдоль $OC$.

Из условия задачи мы знаем углы между этими векторами:

• Угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$.
• Угол между $\vec{c}$ и $\vec{a}$ равен $60^\circ$.
• Угол между $\vec{c}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$.

Угол $\alpha$ между прямой $OC$ (вектором $\vec{c}$) и плоскостью $AOB$ — это угол между вектором $\vec{c}$ и его проекцией на эту плоскость. Обозначим проекцию вектора $\vec{c}$ на плоскость $AOB$ как $\vec{c}_p$.

По определению проекции, длина вектора проекции связана с длиной исходного вектора и углом $\alpha$ между ними следующим образом:

$|\vec{c}_p| = |\vec{c}| \cos \alpha$

Поскольку $\vec{c}$ — единичный вектор, $|\vec{c}| = 1$. Следовательно, $|\vec{c}_p| = \cos \alpha$. Таким образом, наша задача сводится к нахождению длины проекции $\vec{c}_p$.

Так как вектор $\vec{c}$ образует равные углы с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, его проекция $\vec{c}_p$ на плоскость $AOB$ будет лежать на биссектрисе угла $AOB$.

Пусть $\beta$ — угол между проекцией $\vec{c}_p$ и вектором $\vec{a}$. Так как $\vec{c}_p$ является биссектрисой угла $AOB$, то:

$\beta = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов $\vec{c}$ и $\vec{a}$.

С одной стороны, по определению скалярного произведения:

$\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}| |\vec{a}| \cos(\angle(\vec{c}, \vec{a})) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

С другой стороны, представим вектор $\vec{c}$ как сумму его проекции на плоскость $\vec{c}_p$ и ортогональной составляющей $\vec{c}_n$ (где $\vec{c} = \vec{c}_p + \vec{c}_n$). Вектор $\vec{a}$ лежит в плоскости $AOB$, поэтому он ортогонален вектору $\vec{c}_n$. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{c}_n \cdot \vec{a} = 0$.

Тогда скалярное произведение $\vec{c} \cdot \vec{a}$ можно записать как:

$\vec{c} \cdot \vec{a} = (\vec{c}_p + \vec{c}_n) \cdot \vec{a} = \vec{c}_p \cdot \vec{a} + \vec{c}_n \cdot \vec{a} = \vec{c}_p \cdot \vec{a}$

Вычислим $\vec{c}_p \cdot \vec{a}$ через угол $\beta$:

$\vec{c}_p \cdot \vec{a} = |\vec{c}_p| |\vec{a}| \cos(\beta) = \cos(\alpha) \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ) = \cos(\alpha) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для скалярного произведения $\vec{c} \cdot \vec{a}$:

$\cos(\alpha) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим искомый косинус $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$