Номер 33, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 33, страница 117.

Условие.

12.33. Стороны треугольника равны 2 см, $2\sqrt{7}$ см и $4\sqrt{3}$ см. Найдите угол треугольника, противолежащий его средней стороне.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны треугольника равны $a = 2$ см, $b = 2\sqrt{7}$ см и $c = 4\sqrt{3}$ см.

1. Определение средней стороны

Чтобы определить, какая из сторон является средней по длине, сравним их квадраты, так как это позволяет избежать работы с иррациональными числами.

$a^2 = 2^2 = 4$

$b^2 = (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$

$c^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$

Сравнивая полученные значения, видим, что $4 < 28 < 48$, следовательно, $a^2 < b^2 < c^2$, что означает $a < b < c$.

Таким образом, наименьшая сторона — $a = 2$ см, средняя сторона — $b = 2\sqrt{7}$ см, а наибольшая — $c = 4\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение угла, противолежащего средней стороне

Нам необходимо найти угол, который лежит напротив средней стороны $b = 2\sqrt{7}$ см. Обозначим этот угол $\beta$.

Теорема косинусов для стороны $b$ выглядит так:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$

Выразим из этой формулы косинус угла $\beta$:

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$\cos(\beta) = \frac{4 + 48 - 28}{2 \cdot 2 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}}$

Сократим полученную дробь на 8:

$\cos(\beta) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\beta) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6}$

Снова сократим дробь, на этот раз на 3:

$\cos(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\beta$ в треугольнике, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.