Номер 28, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 28, страница 117.

Условие.

12.28. Точка $M$ – середина ребра $CD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямой $A_1M$ и плоскостью $CDD_1$, если $AD=5$ см, $DC=6$ см, $DD_1=4$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию прямой $A_1M$ на плоскость $CDD_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания — прямоугольники. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DC$. Также ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DD_1$ (так как $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$). Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DC$ и $DD_1$) в плоскости $CDD_1$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $CDD_1$.

Ребро $A_1D_1$ параллельно ребру $AD$, следовательно, прямая $A_1D_1$ также перпендикулярна плоскости $CDD_1$.

Это означает, что точка $D_1$ является ортогональной проекцией точки $A_1$ на плоскость $CDD_1$. Точка $M$ лежит на ребре $CD$, которое, в свою очередь, лежит в плоскости $CDD_1$. Следовательно, точка $M$ является проекцией самой себя на эту плоскость.

Таким образом, прямая $D_1M$ является проекцией прямой $A_1M$ на плоскость $CDD_1$. Искомый угол — это угол $ \angle A_1MD_1 $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle A_1D_1M $. Поскольку $A_1D_1$ — перпендикуляр к плоскости $CDD_1$, то $A_1D_1$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D_1$. В частности, $A_1D_1 \perp D_1M$. Следовательно, треугольник $ \triangle A_1D_1M $ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D_1$.

Найдём длины катетов этого треугольника.

Катет $A_1D_1$ равен ребру $AD$ параллелепипеда. По условию, $AD = 5$ см, значит, $A_1D_1 = 5$ см.

Катет $D_1M$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ \triangle DD_1M $ (угол $ \angle D_1DM = 90^\circ $, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$ и, следовательно, прямой $DM$, лежащей в этом основании).

Длина катета $DD_1$ дана по условию: $DD_1 = 4$ см.

Точка $M$ — середина ребра $CD$. По условию, $DC = 6$ см. Следовательно, длина катета $DM = \frac{1}{2} DC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $ \triangle DD_1M $:$ D_1M^2 = DD_1^2 + DM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 $.Отсюда $D_1M = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь вернёмся к прямоугольному треугольнику $ \triangle A_1D_1M $. Мы нашли длины его катетов: $A_1D_1 = 5$ см и $D_1M = 5$ см.

Тангенс искомого угла $ \angle A_1MD_1 $ (обозначим его $ \alpha $) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$ \tg(\alpha) = \frac{A_1D_1}{D_1M} = \frac{5}{5} = 1 $.

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $ \alpha = 45^\circ $.

Ответ: $45^\circ$.