Номер 31, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 31, страница 117.

Условие.

12.31. Через вершину прямого угла проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол $60^\circ$. Найдите угол, который образует эта прямая с плоскостью прямого угла.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть вершина прямого угла находится в начале координат $O(0, 0, 0)$, а его стороны лежат на положительных полуосях $Ox$ и $Oy$. Тогда плоскость прямого угла совпадает с координатной плоскостью $Oxy$.

Направляющие векторы сторон угла — это единичные векторы осей: $\vec{a} = \{1, 0, 0\}$ для оси $Ox$ и $\vec{b} = \{0, 1, 0\}$ для оси $Oy$.

Пусть искомая прямая, проходящая через начало координат, имеет направляющий вектор $\vec{l} = \{x, y, z\}$. Мы можем считать этот вектор единичным, то есть $|\vec{l}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1$.

По условию, угол между прямой и каждой из сторон прямого угла равен $60^\circ$. Угол между двумя векторами определяется через их скалярное произведение.

Угол между прямой (вектор $\vec{l}$) и стороной на оси $Ox$ (вектор $\vec{a}$):
$\cos 60^\circ = \frac{\vec{l} \cdot \vec{a}}{|\vec{l}| \cdot |\vec{a}|} = \frac{x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0}{1 \cdot 1} = x$.
Отсюда получаем $x = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Аналогично, для угла между прямой и стороной на оси $Oy$ (вектор $\vec{b}$):
$\cos 60^\circ = \frac{\vec{l} \cdot \vec{b}}{|\vec{l}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0}{1 \cdot 1} = y$.
Отсюда получаем $y = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем координату $z$ из условия, что вектор $\vec{l}$ — единичный:
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + z^2 = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + z^2 = 1$
$\frac{1}{2} + z^2 = 1$
$z^2 = \frac{1}{2}$
$z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, направляющий вектор прямой может быть $\vec{l} = \{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$. Знак координаты $z$ не повлияет на искомый угол, так как прямая будет симметрична относительно плоскости $Oxy$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Его можно найти по формуле:$\sin \alpha = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$, где $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

Для плоскости $Oxy$ вектором нормали является вектор $\vec{n} = \{0, 0, 1\}$. Его длина $|\vec{n}| = 1$.
Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:
$\vec{l} \cdot \vec{n} = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим все значения в формулу для синуса угла:
$\sin \alpha = \frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}|}{1 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$. Таким образом, $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.