Номер 34, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 34, страница 117.

Условие.

12.34. Одна из сторон треугольника равна 35 см, а две другие стороны относятся как $3 : 8$ и образуют угол $60^\circ$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

По условию задачи, две стороны относятся как $3:8$ и образуют угол $60^\circ$. Пусть это будут стороны $a$ и $b$. Тогда третья сторона, лежащая напротив этого угла, равна $c=35$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины неизвестных сторон можно выразить как: $a = 3x$
$b = 8x$

Для нахождения неизвестных сторон воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает три стороны треугольника и угол между двумя из них: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

В нашем случае $c=35$ см, $\gamma = 60^\circ$, а $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим все известные значения в формулу: $35^2 = (3x)^2 + (8x)^2 - 2(3x)(8x) \cos(60^\circ)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $1225 = 9x^2 + 64x^2 - 2 \cdot 24x^2 \cdot \frac{1}{2}$
$1225 = 73x^2 - 24x^2$
$1225 = 49x^2$
$x^2 = \frac{1225}{49}$
$x^2 = 25$

Так как длина стороны может быть только положительным числом, берем положительный корень: $x = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь, зная значение $x$, можем найти длины неизвестных сторон: $a = 3x = 3 \cdot 5 = 15$ см
$b = 8x = 8 \cdot 5 = 40$ см

Ответ: 15 см и 40 см.