Номер 6, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 122.

Условие.

6. Чему равен угол между двумя параллельными плоскостями?

Решение 1.

Решение 3.

6. Угол между двумя плоскостями определяется как двугранный угол между ними. Для пересекающихся плоскостей это угол между двумя перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Когда плоскости параллельны, они не пересекаются, и, следовательно, у них нет общей линии. В этом случае угол между плоскостями определяется через их нормальные векторы.

Нормальный вектор (или нормаль) к плоскости — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Угол между двумя плоскостями по определению равен острому углу между их нормальными векторами.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ коллинеарны. Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Угол между коллинеарными векторами может быть равен $0^\circ$ (если они сонаправлены) или $180^\circ$ (если они направлены в противоположные стороны).

Поскольку угол между плоскостями — это наименьший угол между их нормалями, который по определению не может превышать $90^\circ$, то в обоих случаях он будет равен нулю. Если угол между нормалями $180^\circ$, то смежный с ним угол равен $0^\circ$, и мы выбираем меньший.

Интуитивно, параллельные плоскости имеют одинаковое "направление" или "наклон" в пространстве, поэтому можно считать, что угол между ними отсутствует, то есть равен нулю.

Ответ: $0^\circ$