Номер 5, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 5, страница 122.

Условие.

5. Что называют углом между двумя пересекающимися плоскостями?

Решение 1.

Решение 3.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина угла, образованного при их пересечении. Эта величина измеряется через так называемый линейный угол двугранного угла, который образуют эти плоскости.

Рассмотрим две плоскости, $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$. Эта прямая $c$ называется ребром двугранного угла. Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Выбрать на прямой $c$ (линии пересечения плоскостей) произвольную точку $M$.
2. В плоскости $\alpha$ провести из точки $M$ луч $a$, перпендикулярный прямой $c$.
3. В плоскости $\beta$ провести из той же точки $M$ луч $b$, также перпендикулярный прямой $c$.

Угол, образованный между построенными лучами $a$ и $b$, и есть линейный угол двугранного угла. Величина этого линейного угла и принимается за величину угла между плоскостями.

Важно отметить, что при пересечении двух плоскостей образуются две пары равных двугранных углов. По определению, углом между плоскостями считается величина наименьшего из этих углов. Поэтому значение угла между плоскостями всегда находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ (или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Например, если плоскости перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

В координатном методе угол $\phi$ между плоскостями можно найти как угол между их векторами нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Если плоскости заданы уравнениями $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$, то их нормали имеют координаты $\vec{n_1}=\{A_1, B_1, C_1\}$ и $\vec{n_2}=\{A_2, B_2, C_2\}$. Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:
$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
Модуль в числителе гарантирует, что будет найден острый (или прямой) угол.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называют величину линейного угла их двугранного угла, то есть угла, образованного двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной ее точке, причем каждый перпендикуляр лежит в одной из плоскостей.