Номер 5, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 5, страница 123.

Условие.

13.5. На одной грани острого двугранного угла отметили точки $A$ и $B$, удалённые от другой его грани на 14 см и 8 см соответственно. Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 42 см. Найдите расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $l$. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть $AA_1$ — перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\beta$, и $BB_1$ — перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $\beta$. По условию, $AA_1 = 14$ см и $BB_1 = 8$ см.

Расстояние от точки до ребра — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ребро. Пусть $AC$ — перпендикуляр из точки $A$ на ребро $l$, и $BD$ — перпендикуляр из точки $B$ на ребро $l$. По условию, $AC = 42$ см. Нам нужно найти длину $BD$.

Рассмотрим точку $A$. У нас есть перпендикуляр $AA_1$ к плоскости $\beta$ и наклонная $AC$, перпендикулярная прямой $l$, лежащей в плоскости $\beta$. По теореме о трех перпендикулярах, проекция наклонной $A_1C$ также перпендикулярна прямой $l$.

Таким образом, угол $\angle ACA_1$ является линейным углом двугранного угла. Обозначим этот угол через $\phi$. Треугольник $\triangle AA_1C$ является прямоугольным, так как $AA_1 \perp \beta$ и, следовательно, $AA_1 \perp A_1C$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AA_1C$ катет $AA_1 = 14$ см, а гипотенуза $AC = 42$ см. Мы можем найти синус линейного угла $\phi$:

$\sin\phi = \frac{AA_1}{AC} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$

Теперь рассмотрим точку $B$. Аналогично, так как $BD \perp l$, то по теореме о трех перпендикулярах проекция $B_1D$ также перпендикулярна ребру $l$. Следовательно, угол $\angle BDB_1$ является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle BDB_1 = \phi$. Треугольник $\triangle BB_1D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1D$ катет $BB_1 = 8$ см, а гипотенуза — искомое расстояние $BD$. Используя найденное значение синуса угла $\phi$, получаем:

$\sin\phi = \frac{BB_1}{BD}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{3} = \frac{8}{BD}$

Отсюда находим $BD$:

$BD = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Ответ: 24 см.