Номер 11, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11, страница 124.

Условие.

13.11. Треугольники ABC и ACD лежат в разных плоскостях (рис. 13.16), причём прямая BD перпендикулярна плоскости ABC. Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные треугольники, если $\angle ACD = 90^\circ$, $BC = 6$ см, $CD = 12$ см.

Рис. 13.15

Рис. 13.16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Двугранный угол, о котором идёт речь в задаче, образован плоскостями $(ABC)$ и $(ACD)$. Ребром этого двугранного угла является общая прямая для данных плоскостей, то есть прямая $AC$.

Для нахождения величины двугранного угла необходимо найти его линейный угол. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре, лежат в разных гранях и перпендикулярны ребру.

По условию задачи, $\angle ACD = 90^\circ$, что означает $CD \perp AC$. Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ACD)$.

Также по условию, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Это означает, что $BD$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$, $DC$ — наклонная к этой плоскости, а $BC$ — её проекция на плоскость $(ABC)$.

Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции. В нашем случае прямая $AC$ в плоскости $(ABC)$ перпендикулярна наклонной $DC$ ($AC \perp DC$). Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна и проекции $BC$. Таким образом, $AC \perp BC$, а значит, $\angle BCA = 90^\circ$.

Мы получили, что $CD \perp AC$ и $BC \perp AC$. Так как лучи $CB$ и $CD$ исходят из одной точки $C$ на ребре $AC$ и перпендикулярны ему, то угол $\angle BCD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ACD)$.

Теперь найдём величину угла $\angle BCD$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Поскольку $BD \perp (ABC)$, то прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BC$. Значит, $\angle DBC = 90^\circ$, и треугольник $BCD$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $BCD$ нам известны длины катета $BC = 6$ см и гипотенузы $CD = 12$ см. Косинус угла $\angle BCD$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos(\angle BCD) = \frac{BC}{CD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle BCD = 60^\circ$.

Поскольку $\angle BCD$ является линейным углом искомого двугранного угла, то величина этого двугранного угла равна $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.