Номер 15, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 15, страница 124.

Условие.

13.15. Отрезок $CE$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$ (рис. 13.18). Найдите угол между плоскостями $BCE$ и $DCE$.

Рис. 13.17

Рис. 13.18

Рис. 13.19

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линейный угол — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке, причем эти перпендикуляры лежат в данных плоскостях.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $BCE$ и $DCE$. Очевидно, что обе плоскости проходят через общую прямую $CE$. Значит, $CE$ — линия их пересечения.

2. По условию, отрезок $CE$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Это означает, что $CE$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$ и проходящей через точку $C$.

3. Прямая $BC$ является стороной квадрата $ABCD$, она лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку $C$. Следовательно, $CE \perp BC$.

4. Прямая $CD$ также является стороной квадрата $ABCD$, она лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку $C$. Следовательно, $CE \perp CD$.

5. Мы построили линейный угол двугранного угла. В точке $C$ на линии пересечения $CE$ мы имеем два перпендикуляра к этой линии:

• $BC$ в плоскости $BCE$ (так как $BC \perp CE$)
• $CD$ в плоскости $DCE$ (так как $CD \perp CE$)

Таким образом, угол между плоскостями $BCE$ и $DCE$ равен углу между прямыми $BC$ и $CD$, то есть углу $\angle BCD$.

6. Поскольку $ABCD$ — квадрат, все его углы прямые. Значит, $\angle BCD = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.