Номер 18, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 18, страница 125.

Условие.

13.18. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, $AD = \sqrt{3}$ см, $AA_1 = 3$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AD = \sqrt{3}$ см. Высота параллелепипеда $AA_1 = 3$ см. Требуется найти угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1B_1C)$.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(A_1B_1C)$.
Плоскость $(ABC)$ является плоскостью нижнего основания.Точка $C$ принадлежит плоскости $(A_1B_1C)$ по определению и также принадлежит плоскости $(ABC)$. Следовательно, точка $C$ лежит на линии пересечения этих плоскостей.Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(ABC)$. Отсюда следует, что прямая $A_1B_1$, лежащая в верхней плоскости, параллельна прямой $AB$, лежащей в нижней плоскости, а значит, прямая $A_1B_1$ параллельна всей плоскости $(ABC)$.Если плоскость $(A_1B_1C)$ проходит через прямую $A_1B_1$, параллельную плоскости $(ABC)$, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения будет параллельна прямой $A_1B_1$.Таким образом, линия пересечения проходит через точку $C$ и параллельна $A_1B_1$. В плоскости $(ABC)$ через точку $C$ проходит прямая $CD$, которая параллельна $AB$, а значит, и $A_1B_1$.Следовательно, линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(A_1B_1C)$ — это прямая $CD$.

2. Построим линейный угол двугранного угла.
Угол между двумя плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке, причем каждый перпендикуляр лежит в своей плоскости.Наша линия пересечения — $CD$.Поскольку $ABCD$ — квадрат, то $BC \perp CD$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$.Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, $CC_1 \perp CD$.Так как прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ в плоскости $(BCC_1)$, то прямая $CD$ перпендикулярна всей плоскости $(BCC_1)$.Это означает, что любая прямая в плоскости $(BCC_1)$, проходящая через точку $C$, будет перпендикулярна прямой $CD$.Прямая $B_1C$ лежит в плоскости $(A_1B_1C)$ (так как точки $B_1$ и $C$ лежат в этой плоскости). Также прямая $B_1C$ лежит в плоскости боковой грани $(BCC_1)$. Следовательно, $B_1C \perp CD$.Итак, мы имеем два перпендикуляра к линии пересечения $CD$ в точке $C$:- $BC$ в плоскости $(ABC)$.- $B_1C$ в плоскости $(A_1B_1C)$.Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу между этими прямыми, то есть $\angle B_1CB$.

3. Вычислим величину угла $\angle B_1CB$.
Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BC$. Так как $BB_1$ — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда, оно перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и, в частности, $BB_1 \perp BC$.Таким образом, $\triangle B_1BC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $B$.Катеты этого треугольника равны:- $BC = AD = \sqrt{3}$ см (как сторона квадрата в основании).- $BB_1 = AA_1 = 3$ см (как высота параллелепипеда).Найдем тангенс угла $\angle B_1CB$:$\text{tg}(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$.Следовательно, $\angle B_1CB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.