Номер 24, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 24, страница 125.

Условие.

13.24. Точка $D$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$, если $AB = 12 \text{ см}$, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на 2 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Так как точка $D$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$ ($DA = DB = DC$), то ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ является центром описанной около треугольника $ABC$ окружности ($OA = OB = OC$). Поскольку треугольник $ABC$ — равносторонний, точка $O$ также является его центром (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис). Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DO$, то есть $DO = 2$ см.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ — это двугранный угол между ними. Его величину можно измерить линейным углом, который образуется пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру. Ребром в данном случае является прямая $AB$.

Проведем высоту и медиану $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$. Тогда $CM \perp AB$. Так как $DA = DB$, треугольник $ABD$ является равнобедренным. Его медиана $DM$, проведенная к основанию $AB$, также является высотой, то есть $DM \perp AB$.

Поскольку $CM \perp AB$ и $DM \perp AB$, угол $\angle DMC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABD$. Найдем величину этого угла.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равносторонний со стороной $a = AB = 12$ см. Его высота (и медиана) $CM$ вычисляется по формуле: $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Точка $O$ является центром треугольника $ABC$ и делит медиану $CM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$. Следовательно, $OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $DOM$. Так как $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а отрезок $OM$ лежит в этой плоскости, то $DO \perp OM$. Значит, треугольник $DOM$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $DOM$ нам известны катеты: $DO = 2$ см и $OM = 2\sqrt{3}$ см. Угол $\angle DMO$ (который и является искомым углом $\angle DMC$, так как точки $C, O, M$ лежат на одной прямой) можно найти через тангенс: $tan(\angle DMO) = \frac{DO}{OM} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle DMO = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.