Номер 27, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 27, страница 126.

Условие.

13.27. Катет $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $30^\circ$. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, если $AB = 15 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $AH$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

По условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. Катет $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $BC$ является линией пересечения плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ — это линейный угол двугранного угла, образованного при их пересечении по прямой $BC$. Чтобы построить этот угол, нужно в каждой плоскости провести перпендикуляр к линии пересечения $BC$ в одной и той же точке.

В плоскости треугольника $ABC$ катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ ($AC \perp BC$).
Отрезок $AC$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а отрезок $HC$ — ее проекцией на эту плоскость. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AC$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($HC$) перпендикулярна этой же прямой. Таким образом, $HC \perp BC$.

Поскольку $AC \perp BC$ и $HC \perp BC$, то угол $\angle ACH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию, этот угол равен $30^\circ$, то есть $\angle ACH = 30^\circ$.

Для нахождения искомого расстояния $AH$ необходимо сначала найти длину катета $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$AC = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AHC$. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $HC$. Следовательно, треугольник $AHC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AHC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ мы знаем гипотенузу $AC=12$ см и угол $\angle ACH = 30^\circ$. Катет $AH$ лежит напротив этого угла. Найдем $AH$ через синус угла:

$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 12 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AH = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.