Номер 33, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 33, страница 126.

Условие.

13.33. Точки $A$ и $C$ принадлежат разным граням двугранного угла, равного $120^\circ$. Из точки $A$ опустили перпендикуляр $AB$, а из точки $C$ – перпендикуляр $CD$ на ребро двугранного угла. Найдите отрезок $AC$, если $AB = 7$ см, $BD = 3$ см, $CD = 11$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — грани двугранного угла, а $l$ — его ребро. По условию задачи точка $A$ принадлежит грани $\alpha$, а точка $C$ — грани $\beta$. Из точек $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AB$ и $CD$ на ребро $l$, где точки $B$ и $D$ лежат на ребре $l$.

Нам даны длины этих отрезков: $AB = 7$ см, $CD = 11$ см. Также дано расстояние между основаниями перпендикуляров на ребре: $BD = 3$ см. Угол между гранями $\alpha$ и $\beta$ составляет $120^\circ$.

Для нахождения длины отрезка $AC$ воспользуемся векторным методом. Представим вектор $\vec{AC}$ как сумму векторов, идущих по ломаной линии $A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow C$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}$

Квадрат длины отрезка $AC$ равен скалярному квадрату вектора $\vec{AC}$:

$AC^2 = |\vec{AC}|^2 = \vec{AC} \cdot \vec{AC} = (\vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$AC^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BD}|^2 + |\vec{DC}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{BD} + \vec{AB} \cdot \vec{DC} + \vec{BD} \cdot \vec{DC})$

Теперь найдем значения каждого слагаемого в этом выражении:

1. Квадраты длин векторов: $|\vec{AB}|^2 = AB^2 = 7^2 = 49$; $|\vec{BD}|^2 = BD^2 = 3^2 = 9$; $|\vec{DC}|^2 = CD^2 = 11^2 = 121$.
2. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$. Вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен ребру $l$ (по условию). Вектор $\vec{BD}$ лежит на ребре $l$. Следовательно, эти векторы перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = 0$.
3. Скалярное произведение $\vec{BD} \cdot \vec{DC}$. Аналогично, вектор $\vec{DC}$ перпендикулярен ребру $l$, а вектор $\vec{BD}$ лежит на ребре $l$. Поэтому $\vec{BD} \cdot \vec{DC} = 0$.
4. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$. Двугранный угол $120^\circ$ — это угол между векторами, исходящими из одной точки на ребре, перпендикулярными ему и лежащими в разных гранях. Такими векторами являются, например, $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ (если совместить их начала). Таким образом, угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ равен $120^\circ$. Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$ (т.е. $\vec{AB} = -\vec{BA}$). Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
   Тогда скалярное произведение равно:
   $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(60^\circ) = 7 \cdot 11 \cdot \frac{1}{2} = \frac{77}{2}$

Теперь подставим все найденные значения в формулу для $AC^2$:

$AC^2 = 49 + 9 + 121 + 2(0 + \frac{77}{2} + 0) = 179 + 77 = 256$

Отсюда находим искомую длину отрезка $AC$:

$AC = \sqrt{256} = 16$ см.

Ответ: 16 см.