Номер 34, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 34, страница 126.

Условие.

13.34. Из точек $A$ и $B$, принадлежащих разным граням двугранного угла, опустили перпендикуляры $AC$ и $BD$ на его ребро. Найдите данный двугранный угол, если $AC = CD = BD = 2$ см, $AB = 2\sqrt{2}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть данный двугранный угол образован двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$, которая является ребром угла.Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$.Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AC$ и $BD$ на ребро $l$. Это означает, что $AC \perp l$ и $BD \perp l$.По условию задачи нам известны следующие длины:$AC = 2$ см$CD = 2$ см$BD = 2$ см$AB = 2\sqrt{2}$ см

Для нахождения величины двугранного угла необходимо найти величину его линейного угла. Линейный угол — это угол между двумя лучами, перпендикулярными ребру, проведенными из одной точки на ребре в разных гранях.

Выполним дополнительное построение. Осуществим параллельный перенос отрезка $AC$ вдоль ребра $l$ на вектор $\vec{CD}$. При этом точка $C$ перейдет в точку $D$, а точка $A$ перейдет в некоторую точку $A'$. В результате этого построения мы получим четырехугольник $CDA'A$. Так как $AA' \parallel CD$ и $AA' = CD$, это параллелограмм. Поскольку $AC \perp CD$ (так как $AC$ перпендикулярен всему ребру $l$), то $CDA'A$ является прямоугольником. Из этого следует, что $A'D = AC = 2$ см и $A'D \perp l$.

Теперь у нас есть два отрезка, $A'D$ и $BD$, которые оба перпендикулярны ребру $l$ и выходят из одной точки $D$. Угол между этими отрезками, $\angle A'DB$, и является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим величину этого угла через $\phi$, т.е. $\angle A'DB = \phi$.

Рассмотрим треугольник $A'DB$. В нем известны две стороны $A'D = 2$ см, $BD = 2$ см и угол между ними $\phi$. По теореме косинусов можем выразить квадрат третьей стороны $A'B$:$(A'B)^2 = (A'D)^2 + (BD)^2 - 2 \cdot (A'D) \cdot (BD) \cdot \cos(\phi)$$(A'B)^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(\phi) = 8 - 8\cos(\phi)$

Теперь рассмотрим треугольник $AA'B$. Из нашего построения мы знаем, что $AA' = CD = 2$ см. Длина стороны $AB$ дана по условию: $AB = 2\sqrt{2}$ см.По построению отрезок $AA'$ параллелен ребру $l$. Плоскость, содержащая треугольник $A'DB$, перпендикулярна ребру $l$, так как два пересекающихся отрезка в этой плоскости ($A'D$ и $BD$) перпендикулярны $l$.Поскольку прямая $AA'$ параллельна прямой $l$, а прямая $l$ перпендикулярна плоскости $(A'DB)$, то и прямая $AA'$ перпендикулярна плоскости $(A'DB)$.Следовательно, $AA'$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $A'B$. Таким образом, $\angle AA'B = 90^\circ$, и треугольник $AA'B$ является прямоугольным.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $AA'B$:$AB^2 = (AA')^2 + (A'B)^2$Подставим известные значения:$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 + (A'B)^2$$8 = 4 + (A'B)^2$$(A'B)^2 = 4$

Теперь у нас есть два выражения для $(A'B)^2$. Приравняем их:$8 - 8\cos(\phi) = 4$$8\cos(\phi) = 8 - 4$$8\cos(\phi) = 4$$\cos(\phi) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Из полученного уравнения находим угол $\phi$:$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.