Номер 37, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 37, страница 126.

Условие.

13.37. Точка $M$ – середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $BMD$ и $A_1BD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$ (ось $x$), $DC$ (ось $y$) и $DD_1$ (ось $z$). Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат найдем координаты необходимых нам точек:

• $B(a,a,0)$
• $D(0,0,0)$
• $A_1(a,0,a)$
• $C(0,a,0)$, $C_1(0,a,a)$
• $M$ - середина $CC_1$, поэтому $M(0, a, \frac{a}{2})$

Угол между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами. Найдем векторы нормали для плоскостей $(BMD)$ и $(A_1BD)$.

1. Плоскость $(A_1BD)$

Эта плоскость проходит через точки $A_1$, $B$, $D$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{DB} = (a-0, a-0, 0-0) = (a, a, 0)$

$\vec{DA_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $(A_1BD)$ перпендикулярен обоим этим векторам, и его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n_1} = \vec{DB} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a) = a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} - a^2\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n_1} = (a^2, -a^2, -a^2)$. Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив координаты на $a^2$: $\vec{n_1'} = (1, -1, -1)$.

2. Плоскость $(BMD)$

Эта плоскость проходит через точки $B$, $M$, $D$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DM}$:

$\vec{DB} = (a, a, 0)$

$\vec{DM} = (0-0, a-0, \frac{a}{2}-0) = (0, a, \frac{a}{2})$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $(BMD)$ найдем как их векторное произведение:

$\vec{n_2} = \vec{DB} \times \vec{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - a \cdot 0) = \frac{a^2}{2}\mathbf{i} - \frac{a^2}{2}\mathbf{j} + a^2\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n_2} = (\frac{a^2}{2}, -\frac{a^2}{2}, a^2)$. Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, умножив координаты на $\frac{2}{a^2}$: $\vec{n_2'} = (1, -1, 2)$.

3. Угол между плоскостями

Найдем угол $\phi$ между нормальными векторами $\vec{n_1'} = (1, -1, -1)$ и $\vec{n_2'} = (1, -1, 2)$ по формуле косинуса угла между векторами:

$\cos\phi = \frac{\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}}{|\vec{n_1'}| \cdot |\vec{n_2'}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 1 + 1 - 2 = 0$

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и плоскости, которым они перпендикулярны, также перпендикулярны.

$\cos\phi = 0$, откуда $\phi = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.