Номер 30, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 30, страница 126.

Условие.

13.30. Сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, а расстояние между прямой $BC$ и этой плоскостью равно $7\sqrt{3}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если сторона ромба равна 28 см, а $\angle BAD = 30^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим искомый угол между плоскостью ромба $(ABC)$ и плоскостью $\alpha$ как $\phi$.

По условию, сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому $BC \parallel AD$. Так как прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $AD$, которая лежит в этой плоскости, то прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость. Выберем точку $B$ на прямой $BC$ и опустим из нее перпендикуляр $BH$ на плоскость $\alpha$. Тогда точка $H$ лежит в плоскости $\alpha$, а отрезок $BH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. По условию, расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $\alpha$ равно $7\sqrt{3}$ см, следовательно, $BH = 7\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $\alpha$ является двугранным углом, образованным этими плоскостями. Прямая $AD$ является линией пересечения этих плоскостей. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол. Для этого в плоскости ромба $(ABC)$ проведем высоту $BK$ к стороне $AD$, то есть $BK \perp AD$.

Рассмотрим наклонную $BK$ и ее проекцию $HK$ на плоскость $\alpha$ (поскольку $BH \perp \alpha$, точка $B$ проектируется в точку $H$, а точка $K$, лежащая на прямой $AD$ в плоскости $\alpha$, проектируется в саму себя). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($BK$) перпендикулярна прямой ($AD$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($HK$) перпендикулярна той же прямой. Таким образом, $HK \perp AD$.

Так как $BK \perp AD$ и $HK \perp AD$, то угол $\angle BKH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью ромба $(ABC)$ и плоскостью $\alpha$. Значит, $\phi = \angle BKH$.

Треугольник $\triangle BKH$ является прямоугольным, так как $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а значит, $BH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $HK$. Угол $\angle BHK = 90^\circ$.

Найдем длину высоты ромба $BK$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Он прямоугольный ($BK \perp AD$). Сторона ромба $AB = 28$ см (гипотенуза), а угол $\angle BAD = 30^\circ$. Длина катета $BK$, лежащего напротив угла в $30^\circ$, равна:$BK = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 28 \cdot \sin(30^\circ) = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle BKH$ нам известны длины катета $BH = 7\sqrt{3}$ см и гипотенузы $BK = 14$ см. Найдем синус угла $\phi = \angle BKH$:$\sin(\phi) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BK} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\phi = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.